Математические софизмы

Софизмы

Подготовила обучающаяся 10 класса Серебрякова Анастасия

Понятие Софизма

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают  внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле,  софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали  математические  софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.

Математические Софизмы

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает  развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я покажу три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические .

Алгебраические софизмы .

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

• «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»     решим систему двух уравнений:   х+2у=6,     (1)                                                            у=4- х/2    (2)

подстановкой у из 2го ур-я в 1получаем х+8-х=6 , откуда 8=6 Уравнение (2) можно записать как  х+2у=8 , так что исходная система запишется в виде:     Х+2у=6,          Х+2у=8

2. «Сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места »

Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице, т.е.                       

S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…….. ,(1) И попробуем найти значение этой суммы.  Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой «минус», т.е.                         

S=1-(1-1)-(1-1)-….=1-0-0-…=1. Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда                        

  S=-1+1-1+1-1+1-…=-1+(1-1)+(1-1)+…=-1+0+0+…=-1. Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы(1), мы пришли к различным значениям этой суммы: 1 и –1, в итоге сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых ,а сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места.

-с, следовательно, должно быть –ас, т.е. отрицательное число больше положительного. Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны. " width="640"

3. «Дважды два равно пяти».

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. Перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b--d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

4. «Отрицательное число больше положительного».  

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:       

a -a

-c c                             

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:     

a –a

c -c

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а-с, следовательно, должно быть –ас, т.е. отрицательное число больше положительного.

Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

Геометрические Софизмы

• «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой

можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС.

На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим

полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в

точках Е и Д. Соединим точки  Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как

вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно,

ВЕ  перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два

перпендикуляра к прямой АС.

Где же ошибка???

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»  

  Пусть  а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и  a  обозначим через c . Имеем  b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.  

Где же ошибка???

В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

3. «Катет равен гипотенузе»  

Угол С равен 90о, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

Где же ошибка???  

Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВВ*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*АВ*В-А*А, которое равносильно следующему:                         А(В-А)(В+А)(В- -А).      (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что                         АВ+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство АВ, имеем 2А2В+А, откуда                                 А2В. Итак, если АВ, то А2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 65 следует, что 610. Где ошибка???   Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию АВ, поэтому В-Аозначает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство Аисходное неравенство В" width="640"

Арифметические Софизмы

• « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»  

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие,

что                                                                  АВ. Умножив это неравенство на В, получим

новое неравенство АВВ*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство

АВ-А*АВ*В-А*А, которое равносильно следующему:                         А(В-А)(В+А)(В-

-А).      (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим,

что                         АВ+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное

неравенство АВ, имеем 2А2В+А, откуда                                 А2В. Итак, если АВ, то

А2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 65 следует, что 610. Где

ошибка???   Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к

неравенству (2). Действительно, согласно условию АВ, поэтому В-А

означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но

согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении

неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо

изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо

неравенства (2) получим неравенство А

исходное неравенство В

2. «Один рубль не равен ста копейкам»         

Если a=b, c=d, то ac=bd.  Применим это положение к двум очевидным равенствам     1 р.=100 коп,  (1)   10р.=10*100коп.(2) перемножая эти равенства почленно, получим      10 р.=100000 коп.     (3) и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что    1 р.=10 000 коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???  

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство   2                                2                       

10 р.  =100 000 к . , которое после деления на 10 дает                      2                             2                     1 р.  = 10 000 коп.,         (*) а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство     1р.=100 коп.

2. «Один рубль не равен ста копейкам»           Если a=b, c=d, то ac=bd.  Применим это положение к двум очевидным равенствам                       1 р.=100 коп,  (1)                                    10р.=10*100коп.(2) перемножая эти равенства почленно, получим                                               10 р.=100000 коп.     (3) и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что                               1 р.=10 000 коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка???   Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство                          2                    2                        10 р.  =100 000 к . , которое после деления на 10 дает

                    2                                    2                         1 р.  = 10 000 коп.,         (*) а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство    

1р.=100 коп.

4. «Ахиллес никогда не догонит черепаху»

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.. Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка???  

Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты. Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях  (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек. Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха  до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!! Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии. Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.

Заключение

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений. Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу, я думала, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.