Математический паркет

Краевое государственное бюджетное общеобразовательное учреждение, реализующее адаптированные основные общеобразовательные программы «Школа-интернат № 2»

Тема: «Математический паркет»

Секция математики

Исследовательская работа

Выполнили работу: учащиеся 6 класса

Научный руководитель: Вантеева О. В.

Хабаровск, 2018 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

Глава 1. Сквозь века 4

Глава 2. Понятие геометрического паркета 5

Глава 3. Паркеты из правильных одноименных многоугольников 6

Глава 4. Паркеты из комбинаций правильных многоугольников 7

Глава 5. Паркеты Эшера 8

Глава 6. Построение паркетов с помощью графического редактора «Paint» 9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9

Список литературы 10

Приложения 11

ВВЕДЕНИЕ

Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.

Актуальность и новизна данной работы обусловлены тем, что тема «Математические паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, укра­шают стены комнат и зданий. Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.

Актуальность работы состоит в том, что исследования подобного рода немногочисленны, кроме того, у учащихся 6 класса появится возможность познакомиться с мемуарной литературой, углубить свои знания о личности поэта.

С паркетами часто встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

Учащиеся более тесно познакомятся с геометрическими фигурами, появится возможность углубить свои знания в области геометрии, черчения.

Целью данного проекта является рассмотрение и  возможности построения геометрических паркетов из многоугольников.

В соответствии с поставленной целью определены следующие задачи:

1. Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.

2. Изучить геометрические приёмы составления паркетов как комбинации  различных многоугольников.

3. Практические способы построения паркетов, используя  геометрические преобразования. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора «Paint», входящего в стандартный пакет Microsoft Office.

4. Развитие умений и навыков исследовательской работы.

Объектом исследования являются различные паркетные узоры. Предметом исследования будут плоские геометрические фигуры, из которых можно составить паркетный узор.

Методы исследования: поисковый, аналитический, описательный, сравнительный анализ.

Практическая значимость исследования заключается в том, что данный материал можно использовать на внеклассных уроках по геометрии.

Результатом данного проекта станут буклет и презентация, посвященные видам паркетов, состоящих из правильных многоугольников.

Глава 1. Сквозь века

Слово «паркет» имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя – предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I, который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с  местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем – стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев: фиолетовый палисандр, розовый амарант, желтое и красное сандаловое дерево, шелковицу, черное эбеновое и табачное дерево, белый и красный кипарис, тисс, чинару, тую, оливковое дерево. Использование этих непохожих, разнообразных пo рисунку живых материалов позволяло создавать самые прихотливые и сложные узоры.. В зависимости от употребляемых материалов  паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

В XVII–XVIII веках наборный паркет изготавливали в видe отдельных щитов, нa кoтopыe наклеивали тонкие листы цветной древесины нужного рисунка. Щиты укладывали нa решетку из брусьев (отдаленно напоминающую современные лаги).

Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII–XIX веках нигдe в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России (приложение 1).

Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться – все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам – реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.

Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.

Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.

«Пироги» наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными "оазисами", кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.

Глава 2. Понятие геометрического паркета

Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет?

В математике паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.

Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками, разбиениями плоскости.

Глава 3. Паркеты из правильных одноименных многоугольников

Паркет называется правильным, если он состоит из одинаковых правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом (приложение 2).

Правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников (приложение 3).

В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.

На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.

В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет? Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Гео­метрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «нале­зут» друг на друга (приложение 4).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов: сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360º.

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:

Величина угла правильного n-угольника равна .

После преобразований получим:

.

Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).

Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n=5, m=3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, правильными пятиугольниками заполнить плоскость нельзя. Можно сделать паркет, только элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника (приложение 5).

Если n=6, m=3 (шестиугольника)

Для n ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников (n 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Вывод: полностью из одних и тех же фигур паркет можно построить из: правильных треугольников; правильных четырехугольников; правильных шестиугольников.

Также основой для классических паркетных узоров являются прямоугольник, параллелограмм (приложение 6).

Глава 4. Паркеты из комбинаций правильных многоугольников

Плоскость в окрестностях какой-нибудь точки полностью, без пропусков, может быть заполнена только тремя видами правильных многогранников: треугольниками, квадратами или шестиугольниками.

Рассмотрим, какими комбинациями разных правильных многоугольников можно заполнить без щелей и пропусков плоскость вокруг этой точки.

Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой-то точки определенное число разных правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялась точно четырем прямым углам. Наименьшее число многоугольников, какое можно сгруппировать в данной точке плотно, без щелей, покрывая ими плоскость, равно 3, наибольшее же – 6.

Следовательно, окончательно, при соблюдении условия, чтобы в каждой вершине сходились только три правильных многоугольника, получим четыре возможные комбинации, а именно:

• треугольники, двенадцатиугольники и двенадцатиугольники;

• квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники;

• квадраты, восьмиугольники и восьмиугольники;

• шестиугольники, шестиугольники и шестиугольники.

Перейдем теперь к комбинациям по четыре, то есть когда в точке соединения плиток должны сойтись четыре правильных многоугольника:

• треугольники, треугольники, квадраты и двенадцатиугольники;

• треугольники, треугольники, шестиугольники и шестиугольники;

• треугольники, квадраты, квадраты и шестиугольники;

• квадраты, квадраты, квадраты и квадраты.

Рассмотрим еще комбинацию по пять, то есть когда в одной точке сходится пять правильных многоугольников. Их только две:

• треугольники, треугольники, треугольники, квадраты, квадраты;

• треугольники, треугольники, треугольники, треугольники, шестиугольники.

Сочетания по шесть, то есть сочетание шести многоугольников в одной точке можно построить только из треугольников.

В приложении 7 приводятся различные модели комбинаций из правильных многоугольников.

Глава 5. Паркеты Эшера

В приложении 8 представлено несколько фигур, получить мозаику из которых можно геометрической операцией параллельного переноса. Фигурка смещается на некоторое расстояние и как бы вкладывается в предыдущую, не меняя своего положения.

Также возможно заполнения плоскости различными фигурами, дающими полностью покрытую плоскость мозаики. Эта мозаика отличается от предыдущих тем, что для заполнения плоскости образец нужно не только сдвинуть на определенное число клеток, но и использовать зеркальное отражение или повернуть относительно некоторой точки - центра симметрии

Общий принцип построения мозаик из сложных фигур (рисунков животных, растений, объектов с криволинейными формами) с использованием различных видов симметрии можно описать как постепенный переход от простых фигур «по тетрадным клеточкам" к более сложным. Начав с простых квадратов и четырехугольников, постепенно усложняя и развивая фигуры, получаем сначала примитивное схематичное изображение, затем добавлением деталей и скруглением форм получаем детализированное изображение со сглаженным контуром.

Глава 6. Построение паркетов с помощью графического редактора «Paint»

В приложении 9 приведены сделанные в программе «Paint» (входящего в стандартный пакет Microsoft Office), модели паркетов.

Были построены следующие варианты паркета:

– из правильных шестиугольников;

– из правильных треугольников;

– из неправильных треугольников;

– из комбинации треугольников и шестиугольников.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Были подробно изучены паркеты, понят принцип их построения. Проведённое исследование показало, что в последнее время оформлению паркета уделяется все больше внимания. И не только в смысле использования различных пород древесины. Паркет, как напольное покрытие, недаром пользуется повышенным спросом. Красота настоящего дерева, его неповторимый рисунок и долговечность всегда будут считаться элементом особого шика, а стиль, диктуемый паркетом, сохранится на века.

Паркетов великое множество, но паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен, т.е. если он составлен из правильных многоугольников. Однако как показывают поэлементные разборы паркетных узоров, в основе всегда лежит плоская геометрическая фигура чаще всего квадрат, прямоугольник которые видоизменяются с помощью параллельных сдвигов сторон фигуры.

Выводы по проекту:

1. Была собрана и проанализирована литература по теме.

2. Изучены геометрические приёмы составления паркетов как комбинации различных многоугольников.

3. Построены различные модели паркетов с помощью графического редактора «Paint».

4. Была оформлена исследовательская работа.

Список литературы

1. Интернет ресурс: 

https://infourok.ru/issledovatelskaya_rabota_po_matematike__geometricheskie_parkety-410947.htm

1. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: 1990

2. Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. - М.; 1961.

3. Занимательная математика. 6 класс. Рабочая программа и технологические карты занятий внеурочной деятельности., Алфимова А.С., Ларина Э.С. – Волгоград: Учитель. – 95 с.

4. Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. - 1999. - № 2. - С.32.

5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Паркеты и их иллюстрации в графическом редакторе "Paint" //Математика в школе. - 2000. - № 8. - С.54.

Приложения

Приложение 1. Паркет начала 18 века в Итальянском зале Павловского дворца

Приложение 2. Правильные многоугольники

Приложение 3. Модели паркетов составленных из правильных многоугольников

Приложение 4. Углы многоугольника

Приложение 5. Паркет из пятиугольников

Приложение 6. Классические паркетные узоры из прямоугольников и параллелограммов

Приложение 7. Модели комбинаций из правильных многоугольников

Приложение 8. Паркеты Эшера

Приложение 9.

Построение паркета из правильных шестиугольников

Построение паркета из правильных треугольников

Построение паркета из неправильных треугольников

Построение паркета из комбинации треугольников и шестиугольников

20