Математика 6. Пропорции

УРОК 62

Т: ПРОПОРЦИИ

Цели: знать определение пропорции, название её членов, формулировку основного свойства пропорции; уметь читать пропорцию.

1. Анализ контрольной работы.

2. Тема.

1. Если написать два выражения с переменными или без переменных и между ними поставить знак равенства, то получится запись, которая называется равенством.

Если равенство содержит переменную, то его называют уравнением. Как в уравнениях, так и в равенствах, не являющихся уравнениями, левая и правая части могут быть какими угодно выражениями. Теперь нас будут интересовать такие равенства, в которых как левая, так и правая части являются частными. Такие равенства называют пропорциями.

Если пропорция не содержит переменных, то, как всякое равенство без переменной, она может быть истинной или ложной. Например, пропорция 10 : 5 = 9 : 3 ложна, а пропорция

4 : 2 = 6 : 3 истинна. Догадайтесь, как я узнала, что первая пропорция составлена неверно, а вторая – верно. Правильно! Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, вычисляют числовое значение каждого отношения, составляющего пропорцию. Если эти отношения равны, то пропорция составлена верно, если не равны – то неверно.

В пропорции 4 : 2 = 6 : 3 числа 2 и 6 называют средними членами пропорции, а 4 и 3 – крайними членами пропорции.

А теперь – физкультминутка. Я показываю карточки с записанными на них пропорциями, а вы мне сигнализируйте, какие из этих пропорций истинны, а какие – ложны.

40 : 8 = 65 : 13 (+)

6 : 3 = 10 : 5 (+)

2,7 : 9 = 2 : 5 (-)

9 : 3 = 24 : 8 (+)

1,5 : 0,1 = 0,3 : 0,2 (-)

1,5 : 1 = 0,3 : 0,2 (+)

8 : 2 = 5 : 20 (-)

8 : 2 = 20 : 5 (+)

М олодцы! А сейчас попробуйте записать пропорцию с помощью букв. Записываем на доске:

a : b = c : d или

Как прочитать пропорцию?

• Отношение а к b равно отношению с к d, или

• а так относится к b, как с относится к d.

2. Контрольные вопросы:

• Прочитайте пропорции: 18 : 6 = 24 : 8; 30 : 5 = 42 : 7; 36 : 9 = 50 : 10;

• Назовите крайние и средние члены этих пропорций;

• Проверьте, верно ли составлены пропорции;

• Составьте, если можно, пропорции из следующих отношений: 20 : 4; 60 : 12; 6,3 : 0,9; 0,3 : 6; 2,8 : 0,4.

3. Один из правильных ответов для последнего задания 20 : 4 = 60 : 12; 6,3 : 0,9 = 2,8 : 0,4.

Для этих двух пропорций вычислите произведение крайних и произведение средних членов. 20  12 = 240; 4  60 = 240 - для первой пропорции; 0,9  2,8 = 2,52; 6,3  0,4 = 2,52 – для второй пропорции.

Какой можно сделать вывод?

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции. Это свойство называют основным свойством пропорции. Для пропорции а : b = c : d оно записывается так: a  d = c  b.

Чтобы убедиться в том, что пропорция составлена верно, достаточно проверить, равны ли произведения крайних и средних членов. Если эти произведения равны, то пропорция составлена верно. Например, пропорция 0,9 : 3,6 = 0,4 : 0,16 составлена верно, т.к.

0,9  0,16 = 1,44 и 3,6  0,4 = 1,44. Пропорция 5,4 : 1,8 = 4 : 3 составлена неверно, т.к.

5,4  3 = 16,2, а 1,8  4 = 7,2.

Из основного свойства пропорции следует, что в пропорции можно менять местами крайние или средние члены. Например, из пропорции 20 : 5 = 8 : 2 можно составить такие пропорции

2 : 5 = 8 : 20

20 : 8 = 5 : 20.

В пропорции можно менять местами левую и правую части, т.е. 8 : 2 = 20 : 5. любая пропорция может быть записана несколькими различными способами. Попробуйте на примере пропорции 28 : 7 = 20 : 4 выяснить, сколько же способов существует?

28 : 7 = 20 : 4

20 : 4 = 28 : 7

7 : 28 = 4 : 20

4 : 20 = 7 : 28

28 : 20 = 7 : 4

7 : 4 = 28 : 20

20 : 28 = 4 : 7

4 : 7 = 20 : 28.

Правильно! Любая пропорция может быть записана восемью различными способами.

1. Следующий этап - работа с учебником. Прочитайте п.21.

2. № 766 - 768 – решаются с проверкой на доске.

1. Домашнее задание: п.20, № 782 - 784.

1. Итог урока:

• Учащиеся ознакомились с понятием «пропорция»;

• Получили представление об истинной и ложной пропорциях;

• Узнали названия членов пропорции;

• Научились читать пропорцию;

• Узнали основное свойство пропорции.

Цели: обобщить и систематизировать знания по теме «Пропорции»; научить умению решать задачи с помощью пропорций.

1. Повторение.

Какие трудности возникли при выполнении домашнего задания? Если возникли, разбираем непонятный пример.

На прошлом уроке вы ознакомились с понятием «пропорция», научились читать пропорции, определять, верно они составлены или нет. Что ещё вы узнали на том уроке?

Правильно, основное свойство пропорции. В чём оно заключается?

Проверим, как вы усвоили материал: контрольное задание:

• Даны равенства: 2,5 : 0,5 = 45 : 9; 2,5 : 0,5 = 3 + 2; 0,5  12 = 24 : 4. какие из этих равенств пропорции?

• Прочитайте пропорцию и проверьте, верно ли она составлена: 2,8 : 0,07 = 4 : 0,01; 500 : 125 = 3,2 : 0,8; 0,3 : 0,5 = 6 : 10;

• Составьте 3 пропорции, у которых отношения равны 4, например, 8 : 2 = 20 : 5.

1. Диктант (стр.25 – 26).

1. Чему равно отношение чисел 20 и 4?

2. Отношение какого числа к числу 7 равно 3?

3. Отношение числа 18 к числу а равно 3. Чему равно число а?

4. Составьте верную пропорцию из чисел 1, 2, 4 и 8.

5. закончите составление пропорции: «Число 16 относится к 8, как число 12 относится к …».

Листочки сдаём, я называю правильные ответы.

1. Решение задач с помощью уравнений.

Если пропорция содержит переменную, то она, как и всякое равенство с переменной, является уравнением. Поэтому с помощью пропорций можно решать задачи. Часто по задаче легче составить именно пропорцию, чем уравнение другого вида (вспомните, решали ли мы уже задачи с помощью пропорций в прошлом году? Да.).

Уравнение, являющееся пропорцией легко решается, если применить к нему основное свойство пропорции. При решении задач с помощью пропорций применяем следующий способ: введя переменную, выражаем одно и то же число двумя способами в виде частного. Это даёт возможность написать равенство частных или пропорцию.

Задача 1:

За 1,6 ч мальчик прошёл 6,4 км. Сколько километров он пройдёт за 2,8 ч при той же скорости?

Решение.

1,6 ч - 6,4 км

2,8 ч - х км

Составим одну из восьми возможных пропорций: 6,4 : 1,6 = х : 2,8

1,6х = 6,4  2,8

х = 4  2,8

х = 11,2

Ответ: 11,2 км.

Задача 2:

При засолке на 10 кг рыбы кладут 3,5 кг соли. Сколько потребуется соли для засолки 2 ц рыбы?

Решение. 10 кг – 3,5 кг

200 кг – х кг

200 : 10 = х : 3,5; х : 3,5 = 20; х = 70. Ответ: 70 кг.

Задача 3:

По плану рабочий должен сделать за месяц 320 деталей. За полмесяца он выполнил план на 65%. Сколько деталей сделал рабочий за полмесяца?

Решение. Пусть за полмесяца рабочий сделал х деталей. Тогда число деталей, приходящихся на 1% плана, можно выразить двумя способами: 320 : 100 и х : 65. Получилась пропорция 320 : 100 = х : 65

Отсюда 100х = 320  65

х = 208.

Ответ: 208 деталей.

Задача 4:

Сделав 84 детали, рабочий выполнил план на 42%. Сколько деталей должен был сделать рабочий по плану?

Решение. 84 дет. - 42%

х дет. - 100%

х : 100 = 84 : 42

х : 100 = 2

х = 200.

Ответ: 200 деталей.

1. Работа с учебником № 769, 770.

1. Д. З: п.20, № 771, 785, 786.

Цели: закрепить пройденный материал; отработать навыки решения задач с помощью пропорций; проверить усвояемость пройденного материала.

I . Повторение: диктант (стр. 26).

1. Закончите предложение: «Равенство двух отношений называют …»

2. Запишите пропорцию 7 : 21 = 1 : 3. Подчеркните её средние члены.

3. Закончите предложение: «Если пропорция верна, то произведение её средних членов равно произведению…»

4. Решите уравнение х : 3 = 7 : 6, пользуясь свойством пропорции.

5. Равенство 4  9 = 0,2  180 представьте в виде пропорции, применяя основное свойство пропорции. ( 4 : 0,2 = 180 : 9).

Листочки сдаём, я называю правильные ответы.

II. Прочитайте пропорции и назовите их крайние и средние члены: 3 : 7 = 6 : 14;

: 2 = 5 : 40; 3,5 : = 4 : 7 . Про какие из этих пропорций можно сказать, что они верные?

Можно ли составить истинную пропорцию из чисел 5; 10; 2 и 15? (Нет).

III. № 773 – вместе, № 774 – кто быстрее.

IV. СР – пропорции.

1. Истинны ли пропорции: 1 : 2 = 0,5 : 5; 6 : = 36 : 2; 1 : 8 = 8 : ?

2. Составьте 2 истинные пропорции из чисел 16; 8; 3 и 6.

3. Решите уравнение: а) 3 : 12 = 1 : х ; б) а : 5 = ; в) 28 : 8 = 9 : у.

4. Некоторое расстояние ласточка пролетела за 0,5 ч со скоростью 50 км/ч. За сколько минут пролетит то же расстояние стриж, если его скорость 100 км/ч?

5. Из 30 кг свежих слив выходит 10,5 кг сушеных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 14,7 кг сушеных слив?

6*. Для приготовления варенья на 2 части сахара берут 3 таких же по массе части ягод. Сколько надо взять сахара и ягод, чтобы получить 10 кг варенья, если известно, что при варке масса уменьшается в 1,5 раза?

V. Дополнительное задание (для решивших СР) № 775 - 777.

VI. Д. З. П.20, № 803 - 806.