Математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида y’ = f(x). Уравнения с разделяющимися переменными. Примеры.

Рассмотрены приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение вида

где  – неизвестная, непрерывная и дифференцируемая на некотором промежутке  функция.

Таким образом,  дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит независимую переменную x, неизвестную (искомую) функцию  и ее первую производную .

ЗАМЕЧАНИЕ

Некоторых такие уравнения могут не содержать x или y, но обязательно в их записи должна быть первая производная .

Функция называется решением дифференциального уравнения (1), если после подстановки функции в это уравнение оно обращается в тождество:

ПРИМЕР

Задание	Доказать, что функция  является решением дифференциального уравнения
Доказательство	Подставим заданную функцию  в уравнение:      В результате получили верное тождество. Что и требовалось доказать.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Решить дифференциальное уравнение означает, что нужно найти такое множество функций , которые удовлетворяют заданному уравнению. Это множество функций имеет вид

где C – произвольная постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения (1).

График, соответствующий решению дифференциального уравнения (1), называется интегральной кривой этого уравнения.

Для того чтобы из множества решений выделить единственное, нужно задать начальные условия.

Задача отыскания решения  уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.

Любое решение задачи Коши уравнения (1) называется частным решением этого уравнения.

Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то его называют уравнением, записанными в нормальной форме: