Математика для учащихся колледжа

Математические предложения

План

• Высказывания и высказывательные формы.

• Значение истинности высказываний и высказывательных форм. Простые и составные высказывания и высказывательные формы. Логическая структура составного предложения.
• Значение истинности высказываний и высказывательных форм.
• Простые и составные высказывания и высказывательные формы.
• Логическая структура составного предложения.
• Конъюнкция и дизъюнкция высказываний Таблица истинности высказываний. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.
• Таблица истинности высказываний.
• Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.
• Высказывания с кванторами. Квантор общности и значение истинности. Квантор существования и значение истинности.
• Квантор общности и значение истинности.
• Квантор существования и значение истинности.
• Отрицание высказываний и высказывательных форм.
• Отношения следования и равносильности.
• Структура и виды теорем. Теорема, правила, формулы Виды теорем. Закон контрпозиции
• Теорема, правила, формулы
• Виды теорем.
• Закон контрпозиции
• Основные выводы

Рассмотрим некоторые предложения

• «1 + 9 = 20 – 10. Это равенство»
• 37 + 6  37
• 20 + 8  20
• «некоторые числа делятся на 5»
• 5 + x = 9

Определим истинны ли они или ложные

Предложения 1,2,4 – истинные

Предложение 3 – ложное

Предложение 5 – нельзя указать истинное оно или ложное

высказывания

Высказывательная форма

Высказывание – предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Высказывательная форма – предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной.

Высказывательная форма

а + в = с

одноместная в.ф.

двухместная в.ф.

а+ 3 =5

а + в = 5

Обозначения : А – «И» - высказывание А – истинно

В – «Л» - высказывание В – ложно

«И», «Л» - значения истинности высказывания

Множество истинности высказывательной формы – это значения переменной, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание.

Пример: определить множество истинности высказывательной формы x  6, если а) x  N

б) x  Z в) x  R

• Множество истинности – {1,2,3,4,5}
• Множество истинности – {0,1,2,3,4,5}
• Множество истинности – {-  ; 6}

Выше рассмотренные предложения – простые или элементарные предложения.

Из двух простых предложений можно составить новые предложения с помощью союзов «и», «или»…

Логическая связка – «и», «или», «если,…то», «не», «тогда и только тогда, когда».

Составные предложения – это предложения, образованные из элементарных с помощью логических связок.

Для определения логической структуры составного предложения необходимо установить :

• Из каких элементарных предложений оно образовано;
• С помощью, каких логических связок оно образовано.

Пример : 1) x ≥7 – это составная высказывательная форма.

Логическая структура : « А или В »

Элементарные высказывательные формы – А – «x  7»

В - «x = 7»

Логическая связка – «или»

2) «если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны» - это составное высказывание.

Логическая структура : « Если А, то В »

Элементарные предложения :

А – «треугольник равнобедренный»

В – «углы при основании равны»

Логические связки : «Если ……, то».

«Число 25 четное и делится на 5»

Логическая структура – « А и В »

Элементарные высказывательные формы –

А – «25 – четное число»

В – «25 – делится на 5»

Логическая связка – « и »

Проблема : «Как определить значение истинности составных предложений?»

Составное высказывание вида «А и В» называют конъюнкцией (лат. «соединение»), обозначают А  В .

Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А  В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Пример : А – «Л»  А  В – «Л» (по определению)

В – «И»

Составные высказывания вида «А или В» называют дизъюнкцией (лат. «разделение»), обозначают А  В.

Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А  В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Пример: «Число 25 делится на 5 или на 3».

А – «25 делится на 5»

В – «25 делится на 3»

Логическая связка – или

Логическая структура - А  В

А – «И»  – А  В «И» (по определению)

В – «Л»

Составим таблицу истинности конъюнкции и дизъюнкции

А

В

И

И

И

А  В

Л

Л

И

А  В

И

И

Л

Л

И

Л

Л

И

Л

Л

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм обозначают:

А(х)  В(х)

Высказывательная форма А(х)  В(х) обращается в истинное высказывание, если обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х) при значениях х из области определения Х.

Пример : х + 3  13 А(х) – х+3  13

3х  15 В(х) – 3х  15

Логическая структура А(х)  В(х)

х  10

х  5

5

10

Ответ: А(х)  В(х) – «И» при х  (5;10).

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм обозначают:

А(х)  В(х)

Высказывательная форма А(х)  В(х) обращается в истинное высказывание, при тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм.

Пример: (х + 7) (х - 4) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

А(х) – х + 7=0

В(х) – х – 4 =0

Логическая структура: А(х)  В(х)

х +7=0 или х – 4 =0

х = - 7 х=4

Ответ. А(х )  В(х) - И при х  (-7;4).

Квантор существования – это выражения «существует», «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Обозначение :  х – «существует х»

(  х) Ах – «существует такое значение х, что А(х) – истинное высказывание».

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера , а ложность - доказывается.

Пример: «Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними».

Высказывание содержит квантор существования – «некоторые» и оно – «Л». Это необходимо доказать.

В равностороннем треугольнике все углы по 60  , а в прямоугольном один из углов - 90  . Следовательно, ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним.

Квантор общности – это выражения «всякий», «любой», «каждый» и «все».

Обозначение :  х – для всякого х.

(  х) А(х) – «для всякого х предложения А(х ) – истинное высказывание».

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства , а ложность – контрпример.

  Пример: «Всякое натуральное число делится на 2 » высказывание содержит квантор общности – «всякое и оно – Л, т.к. «3 не делится на 2» - контрпример.

В математике часто приходится строить предложения в которых что – либо отрицается.

Пример: «15 – простое число» А – Л

Построим отрицание высказывания: «неверно, что 15 простое число» - И

Обозначение: Ā

Читают: «Не А» или «Неверно, что А».

Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое ложно, если высказывание А истинно, и истинно, если высказывание А- ложно.

А

И

Ā

Л

Л

И

Отрицании конъюнкции и дизъюнкции

Законы де Моргана

Чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие её высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и»).

  Пример: «Число 15 – нечетное и делится на 5».

Построить отрицание высказывания.

Решение

А  В – И

• способ. А  В - «Неверно, что 15 – нечетное число и делится на 5». А  В – Л  оно является отрицанием высказывания А.
• способ. Воспользуемся законом де Моргана

«Число 15 – четное или не делится на 5» - Л

Отрицание высказываний с кванторами

Отрицание высказывания с квантором можно построить двумя способами:

• перед высказыванием ставится слова «неверно что»;
• квантор общности (существования) заменяется квантором существования (общности), а предложение, стоящее после квантора заменяется его отрицанием.

Пример: Построить отрицание высказываний

• А–«Всякий многоугольник является четырехугольником» - Л – высказывание с квантором общности.

• способ. Ā – «Неверно, что всякий многоугольник является четырехугольником» - И

А – Л  Ā построено верно

Ā – И

• способ . Ā - «Некоторые многоугольники не являются четырехугольниками» - И

А – Л  Ā построено верно

Ā – И

• А – «Некоторые свойства квадрата присущие прямоугольнику» - И – высказывание с квантором существования .

• способ. Ā - «Неверно, что некоторые свойства квадрата присущи прямоугольнику».

А – И  Ā построен верно

Ā – Л

• способ. Ā - «Всякое свойство квадрата не присуще прямоугольнику» - Л

А – И

Ā– Л

Отношения следования и равносильности

Рассмотрим высказывательные формы:

А(х) – «х  5»

В (х) – «х  2»

Как связаны между собой?

Можно утверждать:

• «Все числа больше пяти больше двух» или
• «из того, что х  5 следует, что х  2 ».

Определение. Высказывательная форма В (х) следует из высказывательной S формы А (х), если В (х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна.

Обозначение: А(х)  В(х)

Читают:

• Из А(х) следует В;
• Всякое А(х) есть В(х);
• Если А (х), то В(х);
• В(х)есть следствие А(х);
• А(х) – достаточное условие для В (х)
• В(х) – необходимое условие для А(х)
• Как установить истинность предложения А(х)  В(х)?

Его можно сформулировать в виде:

« Всякое А(х) есть В(х)»

Имеет место высказывание с квантором общности, значит истинность устанавливается путем доказательства, а ложность – контрпример.

Рассмотрим высказывания:

А(х) – «треугольник равнобедренный»

В(х) – «Углы при основании треугольника равны »

А(х)  В (х) – И

«Если в треугольнике углы при основании равны, то он равнобедренный» - И

Говорят: предложения А(х) и В(х) – равносильны.

Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложения В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х).

Обозначение: А(х)  В(х)

Читают:

• А(х) равносильно В(х)
• А(х) тогда и только тогда, когда В(х)
• А(х) – необходимое и достаточное условие В(х)
• В(х) – необходимое и достаточное условие А(х)

Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается путем доказательства.

Логическая структура теоремы:

А  В, где А и В – высказывательные формы с одной или несколькими переменными.

Предложение А – условие теоремы ;

В – заключение.

Теорема. Если а – любое число и n, k – натуральные числа, то справедливо равенство

Для удобства использования теоремой её формулируют в виде правила.

Правило. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основания оставляют прежним. А показатели степеней складывают.

Пусть дана теорема:

Теорема

Теорема

А  В

Обратная теорема

Обратная теорема

А  В

В  А

Противоположенная теорема

Противоположенная теорема

В  А

«Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны» - И

«Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны» - И

Обратная противоположной теорема

Обратная противоположной теорема

«Если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом». - И

«Если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом». - И

«Если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны».

«Если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны».

«Если в четырехугольнике диагонали не перпендикулярны, то четырехугольник не является ромбом».

«Если в четырехугольнике диагонали не перпендикулярны, то четырехугольник не является ромбом».

Закон контрапозиции

т.е. всегда когда истинна данная теорема, будет истинна и теорема обратная противоположенной.

Вопросы для самоконтроля

• Сформулируйте разницу между высказыванием и высказывательной формой.
• Как определить логическую структуру составного предложения?
• Сформулируйте различие между конъюнкцией и дизъюнкцией.
• Как определяется истинность конъюнкции и дизъюнкции высказываний и высказывательных форм?
• Сформулируйте правила определения истинности высказываний с кванторами.
• Где используется закон де Моргана?
• Каким образом можно построить отрицание высказываний с кванторами?
• В каких случаях используют отношение логического следования и равносильности между предложениями?
• В чем отличие теоремы от правила?
• Какова логическая структура различных видов теорем?
• Каким законом связаны различные виды теорем?

Задания для практической работы

Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие для студентов средних педагогических учебных заведений «Академия», 1998.

§ 3, п.16 № 4,5,6,8

п.17 № 1,2,3,5,

п. 18 № 3,4

п. 20 № 5,6,7,9,10

п. 21 № 2,3,4,8

п.22№ 2,5,9,12

п.23 №2,5,6