Математика и музыка

Математические секреты музыки

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Введение…. 5

1. Пифагореизм…. …. 7

1.1. Интервалы и гармонии сфер….… 8

2. «Золотое сечение» в музыке. …. 10

2.1. Исследования Л. Л. Сабанеева…. 11

3. Теоретическое построение музыки…. 12

4. Обозначение и соотношение длительностей нот… 14

5. Ритм…. …. 16

6. Параллели…. 18

7. Противоположности…. 19

Заключение…. 20

Список использованной литературы….… 21

Цель исследования: Выявление общих элементов и установление связи между музыкой и математикой.

Задача исследования: Определить взаимосвязь музыки и математики.

Объект исследования: Связь музыки и математики.

Предмет исследования: Музыка.

«Музыка – математика чувств, а математика – музыка разума».

Джеймс Джозеф Сильвестр (английский математик 19 век)

«Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом».

Готфрид Вильгельм Лейбниц (немецкий философ, математик 17 век)

ВВЕДЕНИЕ

Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Какая же связь может быть между математикой – мудрой царицей всех наук, и музыкой? Как могут взаимодействовать, такие, совершенно разные, человеческие культуры?

Музыка (от греч. - искусство муз) - вид искусства, художественным материаломкоторого является звук, особым образом организованный во времени.

Математика (от греч. – знание, наука). — наука о величинах, их свойствах и законах их соединения

Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.

В своей работе я предлагаю найти ответы на эти вопросы, и доказать, что связь между музыкой и математикой существует.

Подбирая информацию и интересные факты по этому вопросу, я узнал, что оказывается, люди уже очень давно задумывались о связи музыки и математики. Именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта – «Трактат о музыке»; первая крупная работа Леонарда Эйлера – «Диссертация о звуке». Эта работа 1727 года начиналась словами: «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков». Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: «Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать».

Сейчас вряд ли кто-нибудь решиться сводить музыку к определенным числовым закономерностям. Тем не менее, математика и музыка связаны друг с другом замечательным и подчас совершенно удивительным образом.

1. ПИФАГОРЕИЗМ

В античной философии 6-4 вв. до н. э. существовало учение Пифагореизм, рассматривавшее число как формообразующий принцип всего существующего. Пифагорейцы предположили, что в основе мира лежит некая абстракция – число. Более того, число в различных ипостасях: «бог-число», «вещь-число», «искусство-число» и т. д. стало у них сущностью мира. Эта числовая конструкция бытия мыслилась ими как конкретный «музыкально-числовой космос» или «строй мира», действующий гармонично во всех проявлениях.

Таким образом, Пифагор и его последователи попытались объединить математику, гармонию и музыку в единую сущность не только космоса, но и человеческой души и конкретной вещи. Музыкальная гармония мыслилась древними как некая логически построенная система, которая имеет много общего с математикой.

Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства – музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. У пифагорейцев музыка рассматривалась не столько как искусство, сколько как наука, а именно – как наука о числах. Пифагорейский музыкальный строй, определивший на столетия судьбу европейской музыки, — это математика.

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Пифагорейцами было подмечено определенное соответствие между высотой звука и конкретным числом, определяющим длину струны. Правильные математическиесочетания таких струн дают гармонические созвучия. Именно по этому принципу был создан широко популярный в античности музыкальный инструмент – лира, который впоследствии стал эмблемой музыкальной искусства. Оказывается, длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов - мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн образуют непрерывную арифметическую пропорцию. Именно длины струн относятся как числа: 1 4/5 2/3, а число колебаний как:1 5/4 3/2, или как 4: 5: 6, т. е. получается непрерывная арифметическая пропорция. Таким образом, мы видим, что приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам

Основная категория философии Пифагора - число, число - это первоначало бытия, основа космической меры. То же числовое начало пифагорейцы обнаружили и в музыке, а поэтому весь космос мыслился ими как музыкально-числовая гармония. Космические сферы, настроенные на определенный тон, порождают «музыку небесных сфер».

1.1. ИНТЕРВАЛЫ И ГАРМОНИИ СФЕР

Пифагорейцы считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре вселенной. Солнце же, Луна и пять планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка – музыка сфер. По мнению пифагорейцев, всякий звук возникает от движения, следовательно, звук сопровождает движение и небесных тел. Находясь на разных расстояниях от Земли, планеты и звезды издают неслышимые нам гармонические звуки, высота которых пропорциональна их скорости. Интервал между Землей и сферой неподвижных звезд рассматривался в качестве диапазона - наиболее совершенного гармонического интервала.

Наиболее принятым порядком музыкальных интервалов планет между сферой Земли и сферой неподвижных звезд является такой: от сферы Земли до сферы Луны - один тон; от сферы Луны до сферы Меркурия - полтона; от Меркурия до Венеры - полтона; от Венеры до Солнца - полтора тона; от Солнца до Марса - один тон; от Марса до Юпитера - полтона; от Юпитера до Сатурна - полтона; от Сатурна до неподвижных звезд - полтона. Сумма этих интервалов равна шести тонам октавы (Рис. 1).

Рис. 1

2. «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» В МУЗЫКЕ

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Золотым сечением (делением) и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина большей его части так относится к длине всего отрезка, как длина меньшей части к большей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8. Кто и когда изобрел золотую пропорцию наукой не установлено. Одни ученые считают автором «золотого деления»Пифагора, другие уверены, что греческий философ и математик позаимствовал знания у египтян и вавилонян, которые пользовались золотыми пропорциями, создавая огромные фигуры фараонов и богов по частям. Установленные каноны позволяли по одной части определить целое и размеры других частей.

Цифры, выражающие длины отрезков «золотого сечения», оставляют «ряд Фибоначчи». В средневековье музыканты часто для придания своим произведениям геометрической стройности пользовались числовыми закономерностями, в том числе и знаменитыми «числами Фибоначчи». Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению «золотого деления». Так, 21:34 = 0,617, а 34:55 = 0,618 (или 1,618, если делить большее число на меньшее).

«Ряд Фибоначчи» мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи «золотого деления», и в первую очередь в искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого сечения.

2.1. ИССЛЕДОВАНИЯ Л. Л. САБАНЕЕВА

В 1925 году русский музыковед, композитор, музыкальный критик и ученый Леонид Леонидович Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении «золотого сечения». В изученных произведениях наблюдалось 3275 «золотых сечений»; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно «золотое сечение», составило 1338.

Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено «золотых сечений». Наиболее высокий процент отмечается у гениальных композиторов, то есть «интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса». У Бетховена (97%, Гайдна (97%, Моцарта (91%, Скрябина (90%, Шопена (92%).

По мнению Л. Л. Сабанеева, «золотое сечение» приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Л. Л. Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена (статья «Этюды Шопена в освещении «золотого сечения»). Он обнаружил в них 178 «золотых сечений». При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении «золотого сечения», но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

Ученый подсчитал количество тактов в знаменитой сонате «Аппассионата» Л. Бетховена и нашел ряд интересных числовых соотношений. В центральной части сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором – 26,75. Отношение 43,25:26,75=1,618 дает «золотое сечение».

3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МУЗЫКИ

Рассмотрим взаимосвязи между математикой и музыкой с точки зрения ее теоретического построения. Основой математических знаний является арифметический счет. Счет, как числовой ряд состоит из определенной последовательности чисел, в которой каждое последующее число больше предыдущего на одну единицу – и это уже само по себе является определенной ритмической закономерностью. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.

Арифметические действия с числами происходят путем перемещения по этому числовому ряду либо в сторону увеличения, либо наоборот. Чтобы, например, к двум прибавить пять нужно от 2 переместиться на 5 единиц в сторону увеличения чисел – получаем 7. По аналогии, музыкальный звукоряд – это последовательность музыкальных звуков, в которой каждый последующий звук выше предыдущего также на одну единицу, (в музыке ей соответствует полутон, если звукоряд восходящий. Соответственно, если звукоряд нисходящий, то каждый последующий звук ниже предыдущего на полтона. Аналогично арифметическому действию мы можем вычислить музыкальный звук путем перемещения по музыкальному ряду.

Определение интервала в музыке есть не что иное, как вычисление разности между двумя звуками. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.

Интересно и то, что когда музыканты воспринимают музыкальные интервалы, то в их воображении автоматически возникает числовой ряд, отрезок которого равен определенному интервальному отрезку, т. е. представляется отрезок чисел от 1 до 4 - если слышат кварту, от 1 до 7, если септиму и т. д. Наверное, возможно также представление септимы как отрезок чисел от 2 до 9 или от 3 до 10 – он также равен 7.

Построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики. Соотношение частей музыкального произведения образуют музыкальную форму. Составные элементы музыкальных форм – мотивы, фразы, предложения, периоды – в совокупности образуют мелодию. Обычно мотив умещается в 1-2 такта, отрезок из 2-3 мотивов образует относительно законченное музыкальное построение, называемое фразой; 2 фразы образуют предложение, 2 предложения составляют законченный раздел, завершающийся кадансом и который называется периодом, который состоит в свою очередь из 8 или 16 тактов. Разные способы развития и сопоставления элементов мелодии образуют различные типы музыкальных форм. Так, последование 2 периодов образуют простую двухчастную форму, 3 раздела образуют сложную трехчастную форму. Существуют и другие музыкальные формы: тема с вариациями, куплетная форма, рондо, сонатная форма, фуга, смешанные формы. Но все они представляют собой определенную формулу музыкального построения, как, например, известная 12-тактовая формула классического блюза или формула построения джазовой пьесы. Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку – по формуле

4. ОБОЗНАЧЕНИЕ И СООТНОШЕНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТЕЙ НОТ

За единицу измерения длительности берут так называемую «целую ноту», а все остальные длительности кратны целой. Т. е. каждая следующая нота получается в результате деления предыдущей на два 1/2, 1/4, 1/8 и т. д., при этом название ноты отражает отношение ее к целой (рис. 2).

Рис. 2

Мы видим, что длительности получаются так же как дроби: они возникают при делении целой на равные доли. Если перевести на язык математики: целая нота– это будет 1, половинная нота – это будет. По длительности она на половину короче целой. Чертветная нота – и т. д. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например:

Рис. 3

Равенство здесь понимать в том смысле, что длительность слева равна суммарной длительности справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/16.

Относительной длительностью называется продолжительность данного звука по сравнению с другими. Абсолютная же длительность звуков в музыке устанавливается темпом, т. е. скоростью звучания, а именно показателем скорости по метроному. Доля такта – это единица метра музыкального размера. Доли такта представляют собой малые отрезки одинаковой длительности, из которых складывается данный текст. Величина доли такта указывается в знаменателе дроби, обозначающей размер: например, в размере 3/4 – долей такта является четвертная нота, в размере 2/2 – половинная, в размере 3/8 – восьмая. Числитель дроби указывает количество долей в такте. Показатель по метроному определяет, сколько долей (половинных, четвертных или восьмых) должно прозвучать в течение минуты.

Так, обозначение «Четвертная нота = 80» указывает, что в минуту должны прозвучать 80 четвертных долей (и соответственно – 40 половинных или 160 восьмых и т. д.). Причем, абсолютная длительность звуков является важнейшим условием музыкальной выразительности, от которого зависит замысел музыкального произведения.

5. РИТМ

Окружающий нас мир полон ритмов. Оглянитесь вокруг: ритмично звучат шаги, ритмично наше дыхание, ритмичен стук колес поездов. Но стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке, и это вполне понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. Греческое слово «ритмос» означает мерное течение. Музыкальный ритм - это чередование и соотношение различных музыкальных длительностей и акцентов. Ритм - яркое выразительное средство. Часто именно он определяет характер, и даже жанр музыки. Благодаря ритму мы можем, например, отличить марш от вальса, мазурку от польки. Для каждого из этих жанров характерны определенные ритмические фигуры, которые повторяются в течение всего произведения.

Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Запишем первые 100 натуральных чисел в виде так называемого «Пифагорова Квадрата» (рис. 4). Его особенность состоит в том, что у чисел, стоящих в одной строке совпадают первые числа, а у чисел, стоящих в одном столбце – вторые.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Рис. 4

Красным цветом в таблице (рис. 4) отмечены все числа, кратные 2. Ритм в расположении чисел кратных двум выглядит так: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… Этот ритм соответствует размеру в музыке, т. е. цифра «2» лежит, прежде всего, в основе всей чёткой маршеобразной музыки.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Рис. 5

Красным цветом в таблице рис. 4 отмечены все числа, кратные 3. Ритм в расположении чисел равных трём выглядит так: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12… Этот ритм соответствует правильному и красивому размеру в музыке, т. е. цифра «3» лежит в основе всех вальсообразных ритмов.

6. ПАРАЛЛЕЛИ

Слово «параллельный» происходит от греческого «параллелос» - идти рядом. В музыке параллели, прежде всего мы видим в 5 прямых, образующих нотный стан. Поразмыслим, так ли необходима здесь параллельность? Ведь в древности музыканты записывали музыку по-разному: и при помощи букв, и графическими знаками – невмами, передававшими общее направление интонации, но не позволявшими выразить длительность звучания или его изменение по высоте вверх или вниз. Музыканта интересует не просто то, что одна нота выше или ниже другой: ему требуется знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки. Параллельные линии можно увидеть не только в нотах, но и во внешней форме некоторых музыкальных инструментов: струны арф или органные трубы.

Параллели можно обнаружить не только в нотной записи, но в самом звучании музыки. Например, если одна и та же мелодия будет исполнена различными голосами, т. е. одновременно, в унисон будут петь 2 голоса. Голоса поют одинаковую мелодию, только женский голос будет звучать в верхнем регистре, а мужской - в нижнем, а звучат они параллельно. Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со сдвигом на октаву.

В музыке также существует понятие «полиметрия» - это запись двух параллельно звучащих музыкальных партий в разных музыкальных размерах.

7. ПРОТИВОПОЛОЖНОСТИ

Существуют ли математические противоположности? Да, конечно.

• Отрицательное число – положительное число

• Плюс - минус

• Сложение – вычитание

• Умножение – деление

• Четное число – нечетное число

• Больше – меньше

• Прямая - кривая

В музыке существуют также противоположности:

1. Медленно-быстро.

Эта пара играет весьма важную роль в музыке. Если нам попробовать спеть быстрые песни медленно, а медленные быстро. Потеряется характер и смысл песен.

2. Высокое и низкое.

Некоторые инструменты устроены так, что из них можно извлекать либо только высокие, либо низкие звуки, например скрипка и контрабас.

3. Громкий – тихий.

4. Длинный – короткий.

5. Многоголосие – одноголосие.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Связь музыки с математикой - одна из древнейших. В самом широком смысле можно сказать, что весь мир - это музыка, потому что музыка - это математика. На подчиненность музыкальных структур математическим законам люди обратили внимание не одно тысячелетие назад. Их исследования показали, что многие вопросы, связанные с природой музыки и ее воздействием на человека могут быть описаны языком математики.

Общность математики и музыки служит свидетельством того, что занятия математикой могут значительно облегчить изучение музыкальной гармонии и сольфеджио, и наоборот - решение музыкальных задач и упражнений может способствовать улучшению арифметических навыков.

Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Бореев Г. «Пифагор. Жизнь-как учение.»М.: Гиперборея, 2008.

2. Булучевский Ю., Фомин В. Краткий музыкальный словарь. - М.: Музыка, 2005.

3. Волошинов А. В. «Математика и искусство», М.: Просвещение, 2000.

4. Гейн А. Г., Касымов А. О. «Математика и музыка».

5. Математика и музыка: Методические указания для руководителей кружков/ Сост. И. А. Круглова; Под ред. В. Н. Сергеева. Омск: Омск. Ун-т, 1991.

6. Ценова В. С. Числовые тайны музыки: Монографическое исследование. - М.: Московская гос. консерватория имени П. И. Чайковского, 2000.

7. Энциклопедический словарь юного музыканта, М.: Педагогика, 1985.

8. http://www.music_math.ru

9. http://www.music.ru /intlesson/