Метод замены множителей является одним из достаточно эффективных и практичных методов решения алгебраических неравенств, основывающийся на таких понятиях как равносильность, рационализация, алгебраизация.
Основная идея метода.
Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду

Где символ "
" обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:
.
При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни.
Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.
Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.
Утверждение 1. Функция
есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых значений
из области определения функции разность
совпадает по знаку с разностью
, то есть
, (
означает знакосовпадение)
Утверждение 2. Функция
есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых значений
из области определения функции разность
совпадает по знаку с разностью
, то есть 
Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно установить, что
Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания от единицы, то есть
.
Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то есть
.
Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью квадратов этих величин, позволяет осуществить следующие замены:

Замена знакопостоянных множителей - это есть один из случаев замены не вытекающих из утверждений 1 и 2. Всюду положительные множители заменяем на 1 или просто убираем, всюду отрицательные заменяем на (
1). Популярный знакопостоянный множитель квадратный трехчлен a
+ b x + c
с отрицательным дискриминантом можно заменить на старший коэффициент или на свободный член, то есть a
+ bx + c
.
Так как область значений показательной функции y =
представляет собой все положительные числа, то любая сумма значений показательных функций является знокопостоянной положительной величиной, поэтому
.
Положительной величиной является сумма неотрицательных слагаемых, если ни в одной точке области определения неравенства все слагаемые одновременно не равны нулю. Очевидно, что при объявленном ограничении на слагаемые сумма всегда является положительной величиной. Поэтому в силу определения арифметического корня и неотрицательности модуля любого числа получаем право на следующие замены:

.
Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).
а) Замена знакопостоянных множителей.
1) 
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10) 
11) 
б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.
12)
13) 
14) 
15) 
16)
, 
17)
.
18)
.
19)
.
20) 
21)
.
22)

23) 
24) 
в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими выражениями.
25)

26)
, 
27) 
28) 


31
32)
.
33)
.