Математика. Модуль действительного числа.

Модулем неотрицательного действительного числа x называют само это число: |x|=x; модулем отрицательного действительного числа x называют противоположное число: |x|=−x.

Записывают так: |x|={x,если x≥0−x,если x<0

Свойства модулей

1.|a|≥0;

2.|ab|=|a|⋅|b|;

3.∣∣ab∣∣=|a||b|;

4.|a|2=a2;

5.|a|=|−a|.

Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернёмся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки a и b (два действительных числа a и b), обозначим через ρ (a,b) расстояние между точками aи b (ρ — буква греческого алфавита «ро»).

Это расстояние равно b−a, если b>a,

оно равно a−b, если a>b наконец,

оно равно нулю, если a=b.

Все три случая охватываются одной формулой: ρ(a,b)=|a−b|.

Пример:

Решить уравнение |x−2|=3.

Переведём аналитическую модель |x−2|=3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки x, которые удовлетворяют условию ρ(x;2)=3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это точки −1 и 5.

Следовательно, уравнение имеет два корня: −1 и 5.