Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 11. Задание + решение.

Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 11. Задание + решение.

При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.

Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:

1) величина допустимых изменений буквенных величин;

2) область допустимых значений каждой из буквенных величин.

Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду. Если надо, например, дополнить квадратный трехчлен  до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.:

Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:

Второе требование — неизменность областей допустимых значений — не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь  на разность a - 1 и написав равенство , мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что a ≠ 1, т.е. произошло изменение области допустимых значений величины a. Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.

Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.

Порядок выполнения действий:

1) действия с одночленами;

2) действия в скобках;

3) умножение или деление (в порядке появления);

4) сложение или вычитание (в порядке появления).

Обыкновенная дробь — число вида ; a — целое число, b — натуральное число. Две дроби  равны, если a ∙ d = b ∙ c. Основное свойство дробей: , где c — любое отличное от нуля действительное число.

В пропорции  a и d — крайние члены, b и c — средние члены.

Основное свойство пропорции: a ∙ d = b ∙ c (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).

Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом . По определению модуль действительного числа a является неотрицательным числом:

При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень называется арифметическим лишь в том случае, если число a положительно или равно нулю, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство  верно лишь при условии, что x ≥ 0. При x < 0 нужно писать так:

Аналогично равенство  верно лишь в случае, если a ≥ b. При a < b оно неверно и нужно писать . Оба случая можно охватить такой записью: .

Пример 1.

Упростите выражение .

Решение.

Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .

Ответ: 9m⁷ .