Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 13. Задание + решение.

Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 13. Задание + решение.  

Тождественным преобразованием алгебраического выражения на множестве M Í D(E) называется замена этого выражения на тождественно равное ему на множестве M

Замечание. Отметим, что иногда опускают множество, на котором алгебраические выражения тождественно равны, имея при этом ввиду их тождественное равенство на пересечении областей допустимых значений.

Например,

При выполнении тождественных преобразований оказываются полезными следующие формулы.

I. Формулы сокращенного умножения

1. (a ± b)² = a² ± 2ab + b²,
2. (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³,
3. a² - b² = (a - b)(a + b),
4. a³ ± b³ = (a ± b)(a²  ab + b²).

Эти формулы получаются как следствия из более общих формул:

1. aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + ... + ab^n-2 + b^n-1)     (n Î N),
2. a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = (a + b)(a²ⁿ - a^2n-1b + ... - ab^2n-1 + b²ⁿ)     (n Î N),
3. (бином Ньютона)

   

   где n Î N,          n! = 1·2·3·...·n,     0! = 1.

II. Свойства степеней

Следующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел a и b.

1. a⁰ = 1;
2. a^a + b = a^a · a^b;
3. 
4. (a^a)^b = a^ab;
5. (ab)^a = a^a · b^a;
6. 
7. 

Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида  где m - целое, n - натуральное).

Замечание 2. 0^a = 0, для любого a > 0.

III. Свойства радикалов

1. 
2.    если a ≥ 0,   b ≥ 0,   k Î N,
3.    если ab ≥ 0,   k Î N.
4. 
5.    где a ≥ 0, если m - четно, a Î R, если m - нечетно.
6.    где a ≥ 0,   b > 0,   n - четно или b ≠ 0, a Î R, если n - нечетно.
7. 
8.    где a ≥ 0, если m - четно или n четно, a Î R, если m·n - нечетно.
9. 
10.    где a > 0, b > 0, c > 0 и a² ≥ b²c.

Пример 1. Определить ОДЗ алгебраических выражений:

Решение. a) ОДЗ данного выражения определяется из неравенства x + x² - 2x³ ≥ 0, которое решаем при помощи метода интервалов:

x + x² - 2x³ ≥ 0   Û   x(1 + x - 2x²) ≥ 0   Û   x(2x + 1)(1 - x) ≥ 0   Û   x Î (-¥;-¹/₂]È[0;1].

Таким образом, D(E) = (-¥;-¹/₂]È[0;1].

b) Отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда

	x2 + y ≠ 0,
|x - y| ≠ 0,
x + y ≠ 0,

откуда следует, что D(E) = {(x,y)  |  x ≠ y,   x ≠ -y}.

c) Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения ОДЗ получим систему

b + c ≠ 0, b2c + c2b ≠ 0, d ≥ 0,

Û

b + c ≠ 0, bc(b + c) ≠ 0, d ≥ 0,

Û

b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≥ 0.

Таким образом, ОДЗ исходного выражения равна {(a,b,c,d)  |  b + c ≠ 0,   b ≠ 0,   c ≠ 0,   d≥ 0}.

Пример 2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.

Решение. a) Так как           на множествеM, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:

Условие a > b > 0 влечет  и, следовательно,  Отсюда получаем, что  Таким образом, выражения A и Bтождественно равны на множестве M.

b) Подобно предыдущему примеру

При преобразованиях учитывается, что, если  то , и 

Пример 3. Упростить выражения:

Решение. ОДЗ выражения определяется из системы  решая которую, получим b ≥ 2.

Выполним равносильные на ОДЗ преобразования:

так как на ОДЗ , следовательно,  Таким образом, при b ≥ 2 исходное выражение равно 

b) ОДЗ данного выражения является множество {(m,n)  |  m ≥ 0,   n ≥ 0,   m ≠ n}. Обозначив     получим     m = a⁶ и       n = b⁶ выражение принимает вид

Таким образом, исходное выражение на ОДЗ тождественно равно 

c) На ОДЗ:  {(a,b,c)  |  a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, a² + c² ≠ 0} выражение преобразуется следующим образом:

d) ОДЗ данного выражения является множество {(a,b,c)  |  a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c}. Приводя выражение к общему знаменателю, получим:

Учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:

Следовательно, на ОДЗ исходное выражение тождественно равно ab + bc + ca.

f) ОДЗ выражения является множество {(x,y,z)  |  x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x}. Первое слагаемое выражения преобразуем следующим образом:

Аналогично преобразуются и другие слагаемые:

Следовательно,

g) ОДЗ выражения равна R\{-2;0;3}. Учитывая, что выражение содержит |m| и |m - 3|, рассмотрим три случая:

1. пусть m Î (-¥;-2)È(-2;0); тогда |m| = -m,   |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимает вид

   

2. пусть m Î (0;3); тогда |m| = m,   |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимает

   

3. пусть m Î (3;+¥); тогда |m| = m, |m - 3| = m - 3 и выражение принимает вид

   

Таким образом,

Пример 4. Разложить на множители:

Решение. a) Прибавляя и вычитая z(y + z)(z + x), а затем группируя удобным образом, получим:

b) Применяется формула суммы кубов и решается подобно предыдущему упражнению

c) Применяя формулы сокращенного умножения, получим:

d)     x⁵ + x + 1 = 1 + x + x² - x² + x⁵ = 1 + x + x² - x²(1 - x³) = (1 + x + x²) - x²(1 - x)(1 + x + x²) = (1 + x + x²)(1 - x²(1 - x)) = (1 + x + x²)(1 - x² + x³).