Математика- на шахматной доске!

Математика на шахматной доске

Решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а сама игра — насвистывание математических мелодий.

Выдающийся математик Годфри Харальд Харди

Легенда:

Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе - два, на каждое последующее вдвое больше зёрен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду.

. Существует также и легенда:

Существует также и легенда:

Мудрец скромно потребовал

1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 63 = 2 64 – 1 =

18 446 744 073 709 551 615 зерен.

Чатуранга

Чатурангой в древней Индии называлось войско, состоявшее из боевых колесниц (ратха) и слонов (хасти), конницы (ашва) и пеших воинов (падати). Игра символизировала битву с участием четырёх родов войск, которыми руководил предводитель (раджа).

В игре для четырёх игроков использовались комплекты фигур четырёх цветов: чёрные, зелёные, жёлтые и красные. Играли пара на пару. Каждый комплект содержал восемь фигур: раджу (короля), слона, коня, колесницу (аналог ладьи) и четыре пешки.

Не было таких понятий, как шах, мат и пат

Шахматы с крепостями

Белые и Черные - союзники, играют против Синих и Зеленых. Шашечница (см. рис.) ставится так, что у белого справа белая клетка. Белые и Черные ферзи ставятся на белые клетки, Синие и Зеленые - на черные. Игроки ходят последовательно белые - зеленые - черные - синие. У каждого игрока справа есть квадрат 4х4 (крепость), куда ставятся ладья, конь, слон, которые располагаются кто, где хочет.

Четверные шахматы

Основные правила игры в четверные шахматы - такие же, как в классических шахматах. Отличия заключатся в следующем: Игра ведется двое на двое. Игроки, сидящие друг против друга - союзники. Каждый играет только своими фигурами. Ходят поочередно, по часовой стрелке. Фигуры союзников взаимодействуют. Игрокам разрешается совещаться только в тот момент, когда одному из них дан мат.

Японские шахматы (Сёги, Shogi)

Играют два игрока, чёрные и белые (сэнтэ 先手 и готэ 後手 ). Доска разделена на прямоугольные клетки или поля. Клетки никак не обозначены и не имеют цвета. Каждый игрок имеет набор из двадцати фигур. Фигура представляет собой плоский брусок дерева в форме обелиска (вытянутый пятиугольник), на обеих поверхностях которого иероглифами записано название фигуры. Все фигуры одноцветные, а различаются только по ориентации на доске

Китайские шахматы ( Сянци )

В сянци играют на прямоугольной доске, расчерченной линиями по вертикали и горизонтали. Размер доски — 9×10 линий, причём фигуры ставятся в пересечения линий, а не на клетки. Между двумя центральными горизонталями находится река (кит. 河 , хэ ), которая влияет на движение генералов, советников (мандаринов) и слонов. Квадраты 3×3, отмеченные двумя диагональными линиями называются дворцы или крепости . Их не могут покидать генералы и советники.

Русские шахматы

- разновидность шахмат, основанная на древнерусской игре таврели .

Игра ведётся на обычной шахматной доске 8x8. Название фигур (таврелей) в русских шахматах отличается от принятых в международных шахматах названий, однако состав фигур и правила их передвижения практически полностью одинаковы.

Хелги  — особая фигура в русских шахматах. В Хелги превращается ратник, стоявший в начале партии перед волхвом и достигший в ходе игры последней горизонтали противника. Хелги объединяет в себе свойства Князя и Всадника. Это самая сильная таврель в русских шахматах.

Шведские шахматы

В Шведские шахматы играют две команды. Каждая  команда состоит из двух игроков, играющих на двух отдельных досках, белыми на одной доске и черными на другой.

Партия состоит из двух игр, одновременно играемых на соответствующих досках.

Обе доски расположены друг около друга, а часы на внешних сторонах так, чтобы каждый игрок мог видеть время на обоих часах.

Обе игры начинаются одновременно.  

Съеденная фигура передается партнеру по команде и может быть использована им в игре.

Комплекты фигур соответствуют обычным шахматам, только каждой стороне добавляется ещё один слон и одна пешка. Правила движения фигур похожи на классические шахматы, если считать, что роль горизонталей выполняют косые линии полей, параллельные одной из невертикальных сторон доски, а роль диагоналей — линии полей одного цвета.

Вся игра состоит из 11 раундов, где четные — бокс (битва), а нечетные — сражение (быстрые шахматы). Между раундами существует пауза в 1 минуту. Исход состязания определяется нокаутом на ринге, либо матом на шахматной доске, если ни первого, ни второго не происходит в течение 11 раундов, победу присваивают арбитры. Если происходит ничья, то победа присуждается игроку за черные фигуры.

Вопрос о том, что важнее в шахбоксе – бить или играть – пока остается открытым. Но, судя по всему, шахматистам лучше учиться драться.

Связь между шахматами и математикой

Симметрия

Система координат

Геометрия

Чётность, нечётность

Решение задач

Симметрия в шахматах

Симметрия бывает различных типов; наиболее распространены – осевая и центральная. На шахматной доске при осевой симметрии осью служит прямая, разделяющая левый и правый фланги доски (граница между вертикалями « d » и « e ») или нижнюю и верхнею части). Если белый конь стоит на с2, а черный на с7, то эти кони расположены симметрично.

Симметрия на шахматной доске

I. Симметрия относительно

точки – центральная симметрия.

II. Симметрия относительно прямой – осевая симметрия.

Система координат

Система координат – это описание того, где расположен тот или иной объект(предмет, место). Так на билете в цирк номер ряда и номер места в ряду-координаты этого места, или а4; d3 - координаты Ферзя на шахматном поле.

Точка(с3)

Эта точка может

быть любой шахматной фигурой

Чётность и нечётность

На шахматной доске так же есть и чётность и нечётность. Тут она связанна с номером хода.

При каждом ходе король меняет четность клетки, на которой он стоит. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. Одновременно с этим король меняет цвет клетки, на которой он стоит.

График нечетной функции

График четной функции

Геометрия шахматной доски

Правило квадрата

При этой композиции неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда и т.д. и при этом они часто путаются и в конце концов просчитываются.

Однако исход игры легко оценить при помощи «правила квадрата».

Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки, - в данном случаи изображенном на рисунке. И так в нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.

Задачи на раскрашивание шахматной доски

Задача 1. Художник-авангардист Змий Клеточкин решил покрасить несколько клеток доски размером 8х8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Сколько клеток ему удастся покрасить?

Решение: 36 клеток.

Можно закрасить 42 клетки, закрасить 43 клетки невозможно.

Задача 2. В квадрате 7х7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

Задачи на разрезание шахматной доски

• Задача 3. Разрежьте изображённую на рисунке доску на 4 одинаковые части, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.

Неторопливый король

Задача 4. Какое максимальное число королей можно расставить на доске так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. не стояли рядом?

Решение: Разобьем доску на 16 квадратов (рис. 16). Если мы хотим, чтобы короли не касались друг друга, то, очевидно, в каждом из этих квадратов надо поместить не более одного из них. Это означает, что больше шестнадцати королей, удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. Итак, максимальное число мирных королей на доске 8х8 равно 16.

Ферзь на шахматной доске

Задача 5. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ферзей, чтобы они не угрожали друг другу, то есть никакие два не стояли на одной вертикали, горизонтали и диагонали?

Решение: Очевидно, больше восьми ферзей расставить невозможно, тогда хотя бы на одной вертикали и горизонтали их окажется не меньше двух. Найти несколько решений несложно, одно из них показано на рисунке.

Прямолинейная ладья

Задача 6. Какое наименьшее число поворотов должна сделать ладья при обходе всех полей доски n х n ?

Решение: Ладья должна была сделать хотя бы один ход вдоль каждой вертикали или вдоль каждой горизонтали. Пусть, ладья двигалась хотя бы раз вдоль каждой вертикали. На любую из них, кроме тех, где маршрут начался и закончился, ладья должна была войти и после движения вдоль нее выйти. При этом вход и выход обязательно происходят с поворотами. Таким образом, общее число поворотов не меньше, чем 2( n –2)+1+1=2( n –1). Для любого n маршрут, содержащий ровно столько поворотов, можно получить из маршрута, приведенного на рис. 20, а ; при n =8 ладья делает 2(8–1)=14 поворотов. Этот маршрут является открытым, замкнутый маршрут состоит уже из 16 ходов (рис. 20, б ).

Лабиринты на шахматной доске. Ход конем

Задача 7. Задача о коне Аттилы. На доске находятся две фигуры – белый конь и черный король. Некоторые объявляются «горящими». Конь должен дойти до неприятельского короля, повернуть его и вернуться в исходное положение. Ему запрещено занимать как «горящие» поля, так и поля, уже пройденные им однажды.

Методы решения подобных задач, называемых лабиринтами, хорошо известны в теории графов. Впрочем, для коня Аттилы искомый путь нетрудно найти и непосредственно.

Задачи о перестановках фигур на шахматной доске

Задача 8. Старинная головоломка. В углах доски размером 3х3 стоят два белых и два чёрных коня. Требуется поменять местами белых и чёрных коней за наименьшее число ходов.

Наиболее изящно задача решается при помощи «метода пуговиц и нитей» , открытого известным мастером математических головоломок Г. Дьюдени. На каждое поле маленькой доски, кроме центрального (на него кони попасть не могут), поместим по пуговице (на рис. их заменяют кружки). Если между двумя полями возможен ход коня, то соответствующие пуговицы свяжем нитью (на рисунке нити – это отрезки прямой). Полученный клубок пуговиц и нитей распутаем так, чтобы все пуговицы расположились по кругу.

Гимнастика для ума

Сломанная шахматная доска

Предание гласит, что шахматная доска от удара разломилась на тринадцать частей. На рисунке вы видите их; это двенадцать кусочков разной формы, каждый из которых содержит пять клеток, и только один меньший кусочек состоит из четырех клеток. Таким образом, у нас есть все 64 клетки шахматной доски, а головоломка состоит в том, чтобы сложить из них правильную шахматную доску. Части легко можно вырезать из бумаги в клеточку, и если их наклеить на картон, то они могут служить в доме источником постоянного развлечения.

Гимнастика для ума

Ромео и Джульетта

Видите этих двух улиток? Их зовут Ромео и Джульетта. Джульетта стоит на балконе, поджидая своего возлюбленного, но Ромео за ужином напрочь забывает номер ее дома. Квадраты изображают шестьдесят четыре дома, и влюбленный простак должен посетить каждый дом только по одному разу, прежде чем доберется до своей возлюбленной. Помогите ему это сделать с наименьшим числом поворотов. Улитка может двигаться вверх, вниз, поперек доски и вдоль диагоналей. Начертите ее путь. Эта головоломка как раз из тех, которые решаются либо с первого взгляда, либо не решаются и за шесть месяцев.

Выводы:

Древняя мудрая игра – шахматы развивает память, логическое мышление, творческие способности человека.

«В шахматах,- говорил великий русский писатель Л.Н. Толстой,- нужно дорожить не выигрышем, а интересными комбинациями».

Наверное, этот большой простор для творчества так привлекает математиков к шахматам.