Математика. Неравенство n квадратов.

Квадратными неравенствами называют  неравенства, которые можно привести к виду ax2+bx+cax2+bx+c >0, где aa,bb и сс - любые числа (причем a≠0a≠0), xx – неизвестная  переменная, а ⋁⋁ –  любой из знаков сравнения (>>,<<,≤≤,≥≥).

Как решать квадратные неравенства?

Квадратные неравенства обычно решают  методом интервалов. Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

1. Приведите неравенство к виду ax2+bx+c⋁0ax2+bx+c⋁0. Примеры:

   x2−6x−16<0x2−6x−16<0                                                         −9x2+x+8≤0−9x2+x+8≤0

2. Разложите выражение слева на множители. Для этого приравняйте его к нулю и решите получившееся уравнение, найдя  корни x1x1 и  x2x2. Затем запишите исходное выражение в виде a(x−x1)(x−x2)a(x−x1)(x−x2) 

   x2−6x−16=0x2−6x−16=0                                                         −9x2+x+8=0−9x2+x+8=0 D=36−4⋅1⋅(−16)=100=102D=36−4⋅1⋅(−16)=100=102                               D=1−4⋅(−9)⋅8=289D=1−4⋅(−9)⋅8=289                                     x1=6−102=−2x1=6−102=−2                                                     x1=−1+17−18=16−18=−89x1=−1+17−18=16−18=−89                          x2=6+102=8x2=6+102=8                                                         x2=−1−17−18=−18−18=1x2=−1−17−18=−18−18=1    (x−8)(x+2)<0(x−8)(x+2)<0                                                     −9(x+89)(x−1)≤0−9(x+89)(x−1)≤0

3. Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком << или >>) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком ≤≤ или ≥≥), то точки должны быть закрашены.

                           

4. Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.  В первом справа интервале поставьте:    −− знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число    −− знак минус если перед скобками стоит знак минус. В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.

                             

5.  

   Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть  числовые промежутки:    −− со знаком «++», если в неравенстве стояло «>0>0» или «≥0≥0»    −− со знаком «−−», если в неравенстве стояло «<0<0» или «≤0≤0»

                               

6. Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали. Внимание! При строгих знаках неравенства (<< или >>) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде (x1;x2)(x1;x2) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства (≤≤ или ≥≥) - границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде [x1;x2][x1;x2], с квадратными скобками на точках. 

   Ответ: (−2;8)(−2;8)                                                             Ответ: (−∞;89]∪[1;∞)

Квадратичная функция - это функция вида: f(x)=ax2+bx+c=0\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0f(x)=ax​2​​+bx+c=0, a≠0\displaystyle a\ne 0a≠0

График квадратичной функции – парабола. Ее ветви направлены вверх, если a>0\displaystyle a>0a>0, и вниз, если a<0\displaystyle a<0a<0:

Виды квадратных неравенств:

Все квадратные неравенства сводятся к следующим четырем видам:

ax2+bx+c ≥0ax2+bx+c>0ax2+bx+c≤0ax2+bx+c<0⟩a≠0\displaystyle \left. \begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c\ \ge 0\\a{{x}^{2}}+bx+c>0\\a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\\a{{x}^{2}}+bx+c<0\end{array} \right\rangle a\ne 0​ax​2​​+bx+c ≥0​ax​2​​+bx+c>0​ax​2​​+bx+c≤0​ax​2​​+bx+c<0​​⟩a≠0

Алгоритм решения:

Алгоритм	Пример: 2x2+x−3≥02{{x}^{2}}+x-3\ge 02x​2​​+x−3≥0
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства >, <, ≥, ≤>,\text{ }<,\text{ }\ge ,\text{ }\le>, <, ≥, ≤ на знак равенства «=\displaystyle==»).	2x2+x−3=02{{x}^{2}}+x-3=02x​2​​+x−3=0
2) Найдем корни этого уравнения.	x1=−32; x2=1{{x}_{1}}=-\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}=1x​1​​=−​2​​3​​; x​2​​=1
3) Отметим корни на оси OxOxOx и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «+++», а там где ниже – «−-−».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) «+++» или «−-−», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.	x∈(−∞;−32]∪[1;+∞)x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)x∈(−∞;−​2​​3​​]∪[1;+∞)