Математика. Основные тригонометрические тождества.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус  одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла справедливо:

 Рис. 1

Доказательство тождества

Рассмотрим тринонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол , тогда , а . В , как радиус единичной окружности. Так как треугольник  прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора:   

Учитывая, что  и , получаем

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Основное тригонометрическое тождество позволяет находить синус угла по известному косинусу или, наоборот, косинус угла по известному синусу. Справедливы формулы

Но для определения знака искомой тригонометричской функции требуется дополнительная информация о величине угла (например, в какой четверти расположен угол ).

Следствие 2. Из основного тригонометрического тождества можно вывести две формулы, связывающие соответственно косинус с тангенсом и синус с котангенсом.

1. Пусть  тогда . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на :

после преобразования получим   

2. Пусть  тогда . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на :

   после преобразования получим