Математика. Тренировка. Задания. Рациональные дроби.

Целые выражения - это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.

Дробные выражения допускают также деление на выражение с переменными.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Допустимые значения переменных - это те значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Рациональная дробь - это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель некоторой рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, не равный тождественно нулю, то получится дробь, равная исходной.

Тождество - это равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных, входящих в это равенство.

Сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби. 

Сократить дроби:

Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называется целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби.

 Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:

• разложить знаменатель каждой дроби на множители;
• составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных разложений; если множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с наибольшим показателем степени;
• найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);
• домножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.

Например, 

Умножение и деление рациональной дроби

Произведение двух (любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей перемножаемых дробей: 

Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель - произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

 Пример:

Выполнить умножение .

Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень n, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение - числитель, а второе выражение - знаменатель результата:

При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество:

Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень.

Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой целые рациональные выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.

Пример:

Упростить выражение: 

Решение: