Беларусь, Минск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 19.11.2025 17:23
Хартон Марина Игоревна
48 лет
1 539 738
6 
Местоположение
Специализация
Математика. Тригонометрические подстановки. Примеры + решения.
Категория:
Математика
20.06.2018 12:25
Универсальной тригонометрической подстановкой называется подстановка 
.
Остальные тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного аргумента следующим образом:
Данные формулы имеют смысл, когда определен 
, то есть при 
. И для двух последних формул
Указанная универсальная тригонометрическая подстановка позволяет свести интеграл от некоторой рациональной функции от 
и 
– 
к интегралу от рациональной дроби.
Если , тогда
Дифференцируя левую и правую части последнего равенства, будем иметь выражения для дифференциала переменной интегрирования:
ЗАМЕЧАНИЕ
Заметим, что эта подстановка применяется уже тогда, когда остальные подстановки не привели к желаемому результату, так как применение этой подстановки в общем случае приводит к крайне громоздким преобразованиям.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Найти интеграл
|
| Решение | Подынтегральная функция  является рациональной функцией от и , поэтому для нахождения указанного интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку:
|
| Ответ |  |
ПРИМЕР 2
| Задание | Решить интеграл
|
| Решение | Подынтегральная функция является рациональной функцией от синуса и косинуса, поэтому для нахождения заданного интеграла можно применить универсальную тригонометрическую подстановку :
|
| Ответ |  |
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
