Математика. Взаимно обратные функции.

Обратная функция — функция y=g(x), которая получается из данной функции y=f(x), если из отношения x=f(y) выразить y через x.

Чтобы для данной функции y=f(x) найти обратную, надо:

1.В соотношении y=f(x) заменить x на y, а y — на x: x=f(y) .

2.В полученном выражении x=f(y) выразить y через x.

Функции f(x) и g(x) — взаимно обратны.

Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции —  ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

Взаимно обратные функции

Определение. Пусть дана функция y = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости y = f(x) можно переменную x однозначно выразить через переменную y. Выразив x через y, мы получим равенство вида  x = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.

Дана функция y = f(x). Поставим следующий вопрос: при каком условии существует функция, обратная к функции f?

Самым простым ответом на поставленный вопрос будет такой: по определению функция f имеет обратную, если из соотношения y = f(x) переменную x можно однозначно выразить через y.

Условие существования обратной функции можно выразить геометрически.

Функция y = f(x) имеет обратную, если всякая прямая y = y₀ пересекает график функции y = f(x) не более чем в одной точке (она может совсем не пересекать график, если y₀ не принадлежит области значений функции f).

Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x) = y₀ при каждом y₀ имеет не более одного решения.

Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает. Действительно, если f, например, строго возрастает, то при двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так как большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, уравнение f(x) = y₀ для строго монотонной функции имеет не более одного решения.

Если функция g является обратной для функции f, то и функция f является обратной для функции g, потому что равенства y = f(x) и x = g(y) по определению обратной функции равносильны, т. е. может существовать только одна пара чисел x и y, между которыми выполняется как зависимость y = f(x), так и зависимость x = g(y).  В силу симметрии понятия обратной функции пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

График обратной функции

Соотношения y = f(x) и x = g(y) равносильны, они выражают одну и ту же зависимость между переменными x и y, но записанную разными формулами. Поэтому график зависимости y = f(x) и зависимости x = g(y) один и тот же. Если же на этот график мы смотрим как на график функции, то мы наблюдаем разницу в том, что для функции f значения аргумента, как и положено, нанесены на ось x, а значения функции – на ось y. Для функции g сделано наоборот – ее аргумент отложен по оси y, а значения – по оси x. Если мы для функции g хотим поступить как обычно, мы должны поменять местами x и y.

Возьмем точку P с координатами a и b. Построим точку Q с координатами b и a. Точки P(a; b) и Q(b; a) симметричны относительно прямой y = x (биссектрисы угла xOy).

Если мы теперь одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой y = x.

Таким образом, для построения графика функции, обратной к функции f, надо график исходной функции симметрично отразить относительно прямой y = x.

Область определения и область значений обратной функции

Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.

1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Это означает, что равенства y = f(x) и x = g(y) равносильны. Подставим одно из этих равенств в другое. Получим два тождества f(g(y)) = y и g(f(x)) = x.

2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с область определения функции g.

3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное верно и для убывающих функций.

4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой y = x.