Материал к уроку

Метод удвоения медианы .Геометрия .8 класс.

«Есть медиана –удваивай медиану»

Задача 1

В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.

Удваиваем медиану .

1) АВKC-четырёхугольник

BD=DC (по определению медианы)

АD=DK(по построению)

АВKC-параллелограмм (по признаку параллелограмма)

2) АВ=СК=11,АС=BK=23(по свойству параллелограмма)

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

AK²+BC²=AB²+BK²+CK²+AC²

20²+ BC²=2∙11²+2∙23²

400+ BC²=2(121+529)

400+ BC²=2∙650

BC²=900 BC=30 Ответ: BC=30

Задача 2

Дан треугольник АВС ,длины сторон которого равны a,b,с. Доказать ,что медиана ,проведенная к стороне ВС можно вычислить по формуле m_a²= (2c²+2b²-a²)

Доказательство:

Удваиваем медиану .

1) АВDC-четырёхугольник

BО=ОC (по определению медианы)

АО=ОD(по построению)

АВDC-параллелограмм (по признаку параллелограмма)

2) АВ=СD=c,АС=BD=b (по свойству параллелограмма)

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

AD²+BC²=AB²+BD²+CD²+AC²

AD²+a²=c²+b²+c²+b²

AD²= 2c²+2b²- a²

AD=2m_a (по построению)

(2m_a)²=2c²+2b²- a²

4 ∙m_a²=2c²+2b²- a²

делим на 4

m_a²= (2c²+2b²-a²)

Задача 3

Стороны треугольника равны 8,9 и 13.К наибольшей стороне треугольника проведена медиана . Определите длину этой медианы методом удвоения медианы.( Ответ:5,5)

Задача 4

Основание равнобедренного треугольника равно 4 .Медиана боковой стороны равно 5.Найдите длину боковой стороны .(Ответ: 6)

Задача 5

В треугольнике боковые стороны равны 6 .Медиана,проведенная к боковой стороне равна 4.Найти основание треугольника . (Ответ: )