Математические софизмы

Софизмы

Это последовательность высказываний, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неправдоподобный вывод. Обычно в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или нарушаются условия применения правил или теорем. Задача заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.

1. Докажем, что 5 = 4.

Пусть х = 1/3, тогда 3х = 1. представим 3х как 15х – 12х, и 1 – как 5 – 4, тогда вместо равенства 3х = 1 можно записать

15х – 12х = 5 – 4.

Решим это уравнение:

15х – 5 = 12х – 4, 5(3х – 1) = 4(3х – 1).

Разделим обе части равенства на (3х – 1) и получим 5 = 4. Где в рассуждениях допущена ошибка?

(Поделили на выражение 3х – 1 , которое при х = 1/3 равно нулю).

2. Рассмотрим очевидное равенство:

.

Отсюда, извлекая квадратный корень, имеем:

.

Прибавляя к обеим частям этого равенства по 5/2, получаем, что 2=3. Где ошибка?
(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством ).

3. Возьмем тождество 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель
(7 + 2 – 9), получим, что 5 = 6. Где ошибка?

(Поделили верное равенство на выражение (7 + 2 – 9), равное нулю.Деление на нуль не имеет смысла).

4. Напишем тождество 4 : 4 = 5 : 5.

Вынеся из каждой части тождества общие множители за скобки, получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1) или (2 2) (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Так как 1 : 1 = 1, то 2 2 = 5. Где ошибка?

(Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой части. 4 : 4 = 1 : 1, но 4 : 4 ≠ 4 (1 : 1)).

5. Напишем тождество 16 – 36 = 25 – 45. К обеим частям равенства прибавим 81/4:

;

;

. Где ошибка?

(Ошибка заключается в том, что из истинного равенства следует равенство , вместо истинного равенства
).

6.Прибавим к обеим частям очевидного неравенства 7 5 число – 8, имеем:
7 – 8 5 – 8, то есть – 1 – 3. Умножим теперь это неравенство на (- 4) и получим:
(- 1) (-4) (-3) (-4), то есть 4 12. Где ошибка?

(При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (– 4) надо было знак неравенства изменить на противоположный).

7. Существует софизм: все числа равны между собой.

Пустьaи b – два числа. Обозначим выражение (a+ b) черезs. Тогда:
a = s – b

a –s= -b

Перемножим эти равенства:

a (a –s)= -b(s – b)

a² – as = b²– bs

Прибавим к обеим частям равенства

a² – as + = b² – bs+ ,

(a – )² = (b –)²

Откуда a – = b –, то есть a = b. Где ошибка?

(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством ).

8. Докажем, что любое число равно нулю.

Пусть a – любое фиксированное число. Рассмотрим уравнение:

3x² – 3ax + a² = 0

3x² – 3ax = - a²

Умножая обе части его на - a, получим:

-3x²a+ 3a²x = a³

Прибавляя к обеим частям этого уравнения x³ – a³, получаем:

x³ – 3x²a+ 3a²x – a³ = x³

(x – a)³ = x³

Откуда следует:

x – a = x; a = 0. Где ошибка?

(При a ≠ 0 не существует числа х, удовлетворяющего уравнению 3x² – 3ax + a² = 0. Это следует из того, что дискриминант этого уравнения D = - 3a²приa≠ 0.Следовательно, нельзя прибавлять к обеим частям уравнения несуществующее число
x³ – a³.)

9. Рассмотри очевидное неравенство:

Логарифмируя по основанию 10 обе части этого неравенства, получим:

Сокращая обе части неравенства на , имеем 2 4. Где ошибка?

(Число – отрицательное, поэтому при сокращении на него знак неравенства надо было изменить на противоположный).

10. Докажем, что в равных треугольниках против равных сторон лежат неравные углы.

Возьмем произвольную прямую АВ и при точке А построим произвольный угол ВАС:

О

В

A

E

D

F

C

При точке В строим угол ABD, больший угла ВАС, и, откладывая отрезок BD, равный АС, соединим точки С и D. Разделим отрезки АВ и СD пополам точками Е и F, восстановим в этих точках перпендикуляры, пересекающиеся в точке О. Соединим затем точку О с точками А, В, С и D. Заметив, что АС = ВD (по построению), АО = ОВ, как наклонные, равноудаленные от основания перпендикуляра ОЕ, и аналогично ОС = ОD, находим, что три стороны треугольника АОС, соответственно равны трем сторонам треугольника ВО. Но так как ЕАО = ЕВО (из равенства треугольников АЕО и ВЕО), а DВЕ САВ, то
DВЕ + ЕВО САЕ + ЕАО.

Следовательно, DВО САО, то есть против равных сторон ОС и ОD в равных треугольниках АОС и ВОD лежат неравные угла. Где ошибка?

(Точка О пересечения перпендикуляров построена неправильно. При правильном выполнении чертежа прямая ОD пересечет не отрезок АВ, а его продолжение за точку В, и DВО, безусловно, будет равен САО).