Математика и медицина

МАТЕМАТИКА И МЕДИЦИНА

«Человек, не знающий математики, не способен

ни к каким другим наукам»

Роджер Бэкон

Математика - это чрезвычайно мощный и гибкий инструмент при изучении окружающего нас мира. В любой научной дисциплине существует своя методология, основанная на выполнении конкретных экспериментов. Любой же эксперимент имеет своей целью сбор сведений об изучаемой системе. Эти сведения, далее, фиксируются и обрабатываются в виде чисел. Поскольку обработкой числовой информации занимается математика, отсюда понятна связь между медициной и математикой, биологией и математикой. Рассмотрим примеры.

Допустим, поставлена цель: надо решить задачу о наследственности. Используя знания из области комбинаторики, можно просчитать различные варианты распределения хромосом. Если, например, необходимо сделать программу, которая в полуавтоматическом режиме, исходя из симптомов болезни помогает выбрать подходящий способ лечения, то это - самое что ни на есть прямое применение математики в медицине. Поскольку для этого вначале строится математическая модель (функция многих переменных), т.е. "модель человека", описанная языком математики. Как в биологии, так и в медицине применяется математическая статистика. Используются также теория множеств и моделирование процессов - это уже высшая математика на практике.

В научных исследованиях медицины математика применяется гораздо чаще. В биологии и медицине есть высокотехнологичные, автоматизированные отрасли, где без знания математики специалист просто не в состоянии будет ни обслуживать сложную аппаратуру, ни считывать и обрабатывать ее показания.

Методы статистики используются при проведении научных исследований в медицине; вычислении показателей заболеваемости, рождаемости, средней продолжительности жизни; в каждом медицинском учреждении есть единая форма годового отчета, на основании которого оценивается их работа.

Практическому врачу часто приходится назначать лекарственные препараты из расчета на килограмм веса или год жизни, применять формулы при оценке физического развития ребенка. Например, вес ребенка после года можно рассчитать по формуле: 10 + 2xn, где n – число лет. При таких неотложных состояниях, как шок, эксикоз (или обезвоживание) врач должен быстро рассчитать необходимый объем внутривенных вливаний, соотношения растворов, а также скорость их введения.

Математика - это набор разнообразнейших "игр разума" (математических дисциплин, математических моделей). Она не бессмысленна и не бесполезна потому, что в объективной реальности всегда находятся явления, которым можно найти соответствие в этих математических "играх" (моделях). Самое главное при этом - возможность прогнозировать события, предугадывать течение явлений или выявлять их сущность, используя математические средства, "поиграв на компьютере", не используя реальных объектов. В этом проявляется один из основополагающих принципов математики - связь семантического отношения логического следования (то есть, грубо говоря, причинно-следственная связь) с синтаксическим отношением выводимости (то есть отношения между математическими формулами, которые можно одну с другой вывести, даже не зная, что же им "в реале" соответствует, но полученная формула даст ответ на некоторый вопрос "в реале"). Такие математические "игры" по жестким и полностью определенным правилам выполняют компьютеры. Что же до использования математики в биологии и медицине - тут просто необъятный материал. Все процессы в живых организмах при их изучении сейчас почти обязательно моделируются математически. Например, в медицинской практике используются математические модели для компьютерного анализа кардиограмм и распознавания болезней сердца.

Развитие методов вычислительной математики и нарастание мощности компьютеров позволяют в наши дни выполнять точные расчеты в области динамики сложнейших живых и неживых систем с целью прогнозирования их поведения. Успехи на этом пути зависят от готовности математиков и программистов к работе с данными, полученными традиционными для естественных и гуманитарных наук способами: наблюдение, описание, опрос, эксперимент.

Хорошо известно, что один из подходов к описанию картины природы — это построение иерархии уровней организации, изучаемых различными науками; по уровню абстракции, свойственному каждой из них, эти науки можно расположить в такой последовательности: физика, химия, биохимия, физиология, психология, социология. Мы начинаем с основных материальных элементов реального мира, т. е. с субатомного уровня, и заканчиваем необычайно разносторонними проявлениями духовной жизни человеческого общества. В этой последовательности уровней организация и сложность непрерывно повышаются. На каждом уровне действуют свои собственные законы, и поэтому их можно изучать до некоторой степени независимо друг от друга. Однако любой из них нерасторжимо связан с закономерностями, действующими на более низких уровнях. Так, законы физики и химии отчасти распространяются и на психологию, хотя понятия и законы последней выходят за пределы физических и химических законов.

Проблемы, касающиеся организации и деятельности больниц, следует отнести к более высокому уровню абстракции, чем, скажем, физиологию и патологию человека. Но хотя в определенной степени логическое содержание этого более высокого уровня независимо от более низкого, вопросы физиологии и патологии неизбежно должны учитываться при решении любой проблемы, касающейся организации больничных служб.

Другим примером может служить область медицинской диагностики. Для постановки диагноза врач совместно с другими специалистами часто бывает вынужден учитывать самые разнообразные факты, опираясь отчасти на свой личный опыт, а отчасти на материалы, приводимые в многочисленных медицинских руководствах и журналах. 

Общее количество информации увеличивается со все возрастающей интенсивностью, и есть такие болезни, о которых уже столько написано, что один человек не в состоянии в точности изучить, оценить, объяснить и использовать всю имеющуюся информацию при постановке диагноза в каждом конкретном случае. Разумеется, хороший диагност, используя свой большой опыт и интуицию, может отобрать необходимую часть важных данных и дать достаточно точное заключение. Однако, как это ни парадоксально звучит, по мере накопления знаний положение ухудшается.

Именно в такого рода ситуациях, когда разум одного человека не способен справиться со сложностями стоящих перед ним задач и описать их решение даже в общей словесной форме, специалисты в области так называемых неточных наук (включая, разумеется, биологию и медицину) часто утверждают, что математический анализ несовершенен, неуместен, приводит к ошибочным заключениям или невозможен, и поэтому его лучше избегать. В тех случаях, когда задача содержит большое число существенных взаимозависимых факторов, каждый из которых в значительной мере подвержен естественной изменчивости, только с помощью правильно выбранного статистического метода можно точно описать, объяснить и углубленно исследовать всю совокупность взаимосвязанных результатов измерений. Если число факторов или важных результатов настолько велико, что человеческий разум не в состоянии их обработать даже при введении некоторых статистических упрощений, то обработка данных может быть произведена на компьютере.

Основная причина недоверия к математическим и вычислительным методам, по-видимому, состоит в следующем. Математическая модель некоторого биологического явления будет приемлемой для биолога только в том случае, если выраженная в словесной форме информация об этом явлении, которой он располагает, достаточно полна для того, чтобы можно было судить об адекватности модели. Ясно, что получение такой информации представляет собой первый и наиболее важный этап биологического исследования и что на этом этапе математика играет второстепенную роль. Естественно, возникает мысль, что по мере того, как вопросы становятся более трудными и сложными, математика приобретает все меньшее и меньшее значение. Однако не всегда учитывается то обстоятельство, что, достигнув достаточной степени сложности, математика развивается далее по своим собственным законам и дает биологу понятия и образ мышления, которых у него раньше не было.

Например, в медицине часто возникают сложные проблемы, связанные с применением лекарственных препаратов, которые еще находятся на стадии испытания. Морально врач обязан предложить своему больному наилучший из существующих препаратов, но фактически он не может сделать выбор, пока испытание не будет закончено. В этих случаях применение правильно спланированных последовательных статистических испытаний позволяет сократить время, требуемое для получения окончательных результатов. Этические проблемы при этом не снимаются, однако такой математический подход несколько облегчает их решение.

Математические методы просто более точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор понятий, но, в конечном счете они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, и идут дальше их.

Важная роль математики в такой точной науке, как физика, общепризнана, однако ценность и целесообразность применения математических методов в «менее строгих» науках — биологии и медицине — нередко ставится под сомнение. В большинстве случаев биологический и медицинский материал крайне изменчив, подвержен влиянию многочисленных сложных факторов, взаимодействующих между собой, и для его описания требуется огромное количество разнообразных данных; на этом основании обычно считают точный математический анализ в этой области нецелесообразным или невозможным.

Чтобы по-настоящему проникнуть в исследуемые процессы или явления и управлять ими, необходимо найти соответствующий математический аппарат, который мог бы обеспечить более точный и логически строгий метод анализа. Такой аппарат в настоящее время существует. Биологическую изменчивость можно достаточно адекватно описать соответствующим распределением вероятностей. Правильно выбрав план эксперимента, можно выявить влияние каждого из многочисленных факторов в отдельности. Альтернативные гипотезы можно сравнивать на количественной основе, используя соответствующие критерии статистической значимости. На компьютерах можно очень оперативно обработать большое количество данных, а также быстро и точно выполнить все необходимые вычисления.

Хотя математика уже давно использовалась при исследовании отдельных вопросов, относящихся к различным разделам биологии и медицины, лишь в настоящее время стал возможным интегрированный математический подход ко всей этой области знания. Все разделы прикладной математики и математической статистики, а также вычислительные методы, связанные с биологией и медициной, принято рассматривать под общим названием математическая биология. Общая цель математической биологии — сделать для биологии и медицины то, что математическая физика сделала для физики.

Математические методы медицинской диагностики

Вряд ли кто станет отрицать, что диагностика играет в меди­цине важнейшую роль и что постановка диагноза требует от вра­ча большого мастерства, знаний и интуиции. Процесс постановки врачом правильного диагноза, как мне кажется, можно сравнить с решением математического уравнения с одним, а часто с несколькими неизвестными. Как и в математике, успех решения этой задачи зависит от знаний врача и умения логически мыслить, применить правила и умения на практике.

Точность диагноза и быстрота, с которой его можно поставить, зависят, разумеется, от очень многих факторов: от состояния больного, от имеющихся данных о симптомах и признаках заболевания и результатах ла­бораторных анализов, от общего объема медицинской информации, о наблюдении таких симптомов при самых различных заболева­ниях и, наконец, от квалификации самого врача. Своевременно поставленный точный диагноз часто облегчает выбор метода лече­ния и значительно повышает вероятность выздоровления боль­ного. Исходя из всех этих соображений, вполне естественно попы­таться определить условия, при которых диагноз может быть по­ставлен максимально быстро и точно. В течение многих веков врачи с переменным успехом предпринимали попытки решить эту задачу. Однако в последние годы благодаря применению совре­менных методов лечения и диагностики, основанных на новейших достижениях науки и техники, возможности получения успешных результатов значительно возросли. Поэтому важно найти точные методы описания, исследования, оценки и контроля процесса по­становки диагноза. Наилучший путь к точности и логике рассуждений при решении любой задачи — это математический подход. В принципе этот подход можно выбирать неза­висимо от того, насколько труден и сложен рассматриваемый вопрос. Если мы имеем дело с большим числом взаимозависимых факторов, обнаруживающих значительную естественную измен­чивость, то для достаточно эффективного описания сложной схе­мы их влияния существует лишь один способ — использование соответствующего статистического метода. Если число факторов или число категорий данных очень велико, то желательно, или даже необходимо, использовать компьютер, чтобы искомые результаты можно было получить за доста­точно короткое время. Такой подход ни в коей мере не умаляет значения интуиции и воображения. Напротив, он открывает еще больший простор для проявления этих качеств, освобождая врача от необходимости заниматься такими проблемами, которые можно сформулировать в численной и логической форме и, следователь­но, решать математическими методами и с помощью вычислитель­ной техники.

Итак, что же можно сделать для того, чтобы применить эти идеи к медицинской диагностике? Как известно, среди математи­ков, специалистов в области вычислительной техники и врачей уже имеется ряд энтузиастов, работающих над применением мате­матики и вычислительной техники в этой области. В то же время важно иметь четкое представление о том, что теоретически дости­жимо, что можно было бы сделать в определенных реальных ус­ловиях и какие последствия окажет это в целом на взаимоотно­шения врача и больного.

Даже если бы практическое использование компьютеров для диагностики показалось бы кому-нибудь нежелатель­ным, это все равно не умалило бы важности математического анализа рассматриваемых процессов, поскольку такой анализ должен значительно расширить и углубить наши знания. Имею­щиеся в настоящее время данные свидетельствуют о том, что компьютеры, несомненно, могут играть важную роль при постановке диагноза. Главное состоит в том, чтобы опреде­лить возможности компьютеров. Вот лишь некоторые важные направления: постановка дифференци­ального диагноза в соответствующих условиях; оценка точности диагнозов, которые ставят врачи, с целью повышения общего уровня диагностики; создание учебных пособий для студентов, а также сбор, обобщение и обработка клинических данных для квалифицированного использования их врачами при постановке диагноза.

Решение практических задач в медицине

Медицина — это наука, целиком направленная на оказание помощи людям. Главные персонажи здесь — врач и больной; весь смысл работы врача заключается в том, чтобы облегчить стра­дания больного. Хотя медицинские познания и способности вра­ча — это важнейший фактор, определяющий результаты лечения, они тесно связаны с широким кругом других видов человеческой деятельности — с рядом теоретических и прикладных наук, тех­никой, экономикой и социологией, а также с решением сложных юридических, моральных и этических проблем. Теоретически воз­можности новых достижений в медицине неограниченны, однако на практике обычно ощущается нехватка врачей и медицинских сестер, недостаток лекарств, помещений, финансов и т. д. В связи с этим возникает множество неотложных проблем, решение кото­рых позволило бы использовать имеющиеся ограниченные ресур­сы с максимальной эффективностью. Эти проблемы относятся к области исследования операций, и в настоящее время важность этого предмета для медицины в целом получает все большее при­знание.

Как известно, вопросам оказания медицинской помощи и развития здравоохранения в Российской Федерации последние годы уделяется пристальное внимание. Национальные проекты в здравоохранении требуют серьезных финансовых вложений, а при проведении расчетов в масштабах страны никак не обойтись без математических знаний.

Получить точное и удовлетворительное решение многих важ­ных задач организационного характера совсем нелегко, хотя фор­мулировка их крайне проста. Например, насколько большой дол­жна быть больница? Где она должна располагаться? Как она дол­жна быть спроектирована и каким образом ею нужно руководить? Каким образом больница будет связана с врачами общей практи­ки и лечебными учреждениями, находящимися в ведении местных властей? Органам здравоохранения приходится непрерывно принимать решения по вопросам такого рода при минимуме количе­ственных данных, и получаемые результаты нередко оказываются неудовлетворительными. Одной из задач таких исследований является построение реалистичных количественных моделей всех этих сложных процессов с тем, чтобы административные решения принимались на основе более точных данных, чем в отсутствие таких моделей.

Применение математических методов при планировании работы медицинских учреждений.

Одна из самых важных проблем обеспечения населения меди­цинской помощью заключается в том, чтобы с достаточной точно­стью оценить требуемое количество персонала и помещений. Сле­дует различать такие основные виды обслуживания, как общая практика, амбулаторное лечение, лечение в стационаре, оказание помощи на дому, а также другие виды медицинской помощи. Как правило, необходима также классификация по медицинским спе­циальностям, особенно для госпитализируемых больных. Не сле­дует забывать и о таких специализированных учреждениях, как родильные дома, дома для престарелых и психиатрические кли­ники. В каждой из этих областей существуют свои собственные сложные проблемы. Многие области в известной степени перекры­ваются, и полный анализ структуры «всей системы» пока еще не предпринимался. Естественно, что детали структуры и органи­зации медицинского обслуживания в разных странах различны, но общие цели и задачи примерно одни и те же.

Применение математических методов при проектировании больниц.

Каким образом спроектировать здание так, чтобы дея­тельность всей сложной системы больничных служб была макси­мально эффективной? Во многом это по существу архитектурная задача. В принципе заказчик указывает, какие именно цели он ставит перед собой, а архитектор предлагает один или несколько возможных проектов, в которых надлежащим образом должны быть учтены эстетические, экономические, технические и функ­циональные требования. На практике больничный комитет может изучить в чертежах проекты зданий, представленные различными архитекторами, и выбрать тот из них, который, по их мнению, является наилучшим. Никто не сомневается в том, что обычно заказчик знает, что именно ему нужно. Трудность состоит в том, чтобы перевести общую цель эффективного оказания медицинской помощи в такие категории, на которых можно было бы основывать выбор конкретных деталей архитектурных проектов.

Наступит время, когда можно будет мате­матически рассчитать полный проект здания, наиболее эффектив­но удовлетворяющего определенным требованиям. Можно рас­считать некоторые последствия принятия любого данного проек­та и, следовательно, провести количественное сравнение разных проектов можно уже сейчас. Таким образом, в некоторых вопро­сах, где раньше можно было высказывать только догадки, мы теперь можем пользоваться численными критериями. Такой под­ход позволит заказчику более четко формулировать основные тре­бования к проекту больницы, а архитекторам — оценивать, насколько будут приемлемы их предварительные планы. Трудно предвидеть, каким путем пойдет развитие в дальнейшем. Однако ясно, что пока достигнут лишь первый этап в разработке науч­ных методов проектирования зданий, базирующийся на количественной основе.

Рассмотрим вначале ряд проблем, связанных с проектирова­нием отделения больницы, поскольку их можно рассматривать независимо от общего проекта больницы в целом. Одно из самых важных требований, предъявляемых к отде­лению,— его относительная компактность. Если оно слишком длинно и различные вспомогательные помещения расположены на одном его конце, то медицинским сестрам и санитаркам при­дется совершать много ненужных переходов. Относительные досто­инства различных проектов нельзя обнаружить непосредствен­но путем простого наблюдения, так как маршруты движения меди­цинских сестер от койки к койке, между палатой и сестринским постом, изолятором и т. д. также значительно влияют на общую длину проходимого ими расстояния. Один из способов измерения этой деятельности, которую никогда по-настоящему не проверя­ли, состоит в определении средней типичной схемы движения между всеми основными элементами отделения; для этого необхо­димо провести обследования в целой группе больниц, выбранной надлежащим образом. На основании такой типичной схемы для отделения с определенной специализацией можно будет устано­вить среднее число переходов, скажем, между сестринским постом и палатами за сутки или за смену. Возможно, потребуется также описать более точно схему движения персонала внутри одной палаты между различными койками. Какой бы метод получения стандартной схемы ни был выбран, ее можно будет использовать для различных проектов отделения и получить показатель его относительной компактности. Разумеется, этому показателю нельзя будет придавать решающее значение, однако он явится одним из численных параметров, которые должны приниматься во внимание. При прочих равных условиях необходимо выбирать наиболее компактный проект, обеспечивающий минимальную дальность передвижения за время дежурства.

Существуют, однако, пределы целесообразной компактности. В частности, недопустима скученность, которая способствует передаче инфекции; важно также наличие свободного простран­ства вокруг коек, так как иначе медицинский персонал не будет иметь возможности выполнять свои обязанности; все эти сообра­жения необходимо учитывать при планировании расстояния меж­ду койками. Количественный показатель связи между скученно­стью и передачей инфекции еще не разработан, но учет потребно­стей медицинского персонала — это вполне выполнимая задача.

Хотя проблема обеспечения эффективной деятельности боль­ниц частично связана с общим проектом здания, схемой располо­жения его частей и числом коек, исключительно важную роль играет правильное использование имеющихся средств. Как было сказано выше, решение сложных проблем, связанных с движением потоков внутри помещений, в такой же степени зависит от планирования времени обследования больных и приема посетителей, как и от расположения палат и амбулатор­ного отделения. Общую последовательность операций, происхо­дящих на некотором ограниченном участке, часто можно изучать относительно изолированно.

Обработка медицинской документации

Врачи, медицинские сестры, руководители лечебных учрежде­ний и научные работники повсеместно и неустанно собирают меди­цинскую документацию в надежде, что когда-нибудь эти данные можно будет использовать для научных целей. Чаще всего это преимущественно клинические данные, связанные с анамнезом, постановкой диагноза, лечением и прогнозом, касающиеся отдель­ных больных. Такие сводные материалы, позволяющие, например, определить среднюю частоту определенного заболевания и часто­ту появления различных симптомов или количественно оценить результаты различных методов лечения, представляют ценный вклад в общий фонд медицинских знаний. Они помогают врачу в выборе соответствующих методов лечения в каждом конкретном случае, а также могут служить основой для дальнейших научных исследований.

Эти данные часто содержат большое количество информации, которая была бы исключительно полезной, если бы ее удалось извлечь и проанали­зировать. К сожалению, они нередко бывают непредставительны­ми или неполными. В этих случаях статистические трудности, свя­занные с введением поправок на систематические ошибки и выяв­лением роли различных взаимодействующих факторов, могут быть столь велики, что справиться с ними не удастся. Если медицинская документация специально не при­способлена к требованиям конкретно сформулированных научно-исследовательских задач, то она может оказаться почти бесполез­ной. Идея накопления обширных стандартных записей в надежде, что в конечном счете они помогут ретроспективным исследова­ниям, на практике почти всегда разочаровывает, хотя на их осно­ве и можно получить полезные рекомендации и указания. За не­многими исключениями, лишь такой принцип ведения докумен­тации, который специально нацелен на будущие исследования, может быть по-настоящему удовлетворительным, поскольку толь­ко в этом случае можно провести правильно спланированные эксперименты и обследования.

Тем не менее повседневная медицинская документация имеет практическое значение в работе медицинского учреж­дения. На индивидуальном уровне — в каждом отдельном слу­чае — она необходима для регистрации симптомов, проверки выпол­нения назначений и наблюдения за течением болезни; на более общем уровне она используется для планирования всей работы по обслуживанию целых групп больных. Применение надлежащей аппаратуры позволяет значительно ускорить обработку данных на обоих этих уровнях.

Рассмотрим, например, обычную современную больницу. В та­ком учреждении административные проблемы, связанные с выпол­нением всех операций по обслуживанию амбулаторных и стацио­нарных больных врачами, сестрами, техническим персоналом и т. д., крайне сложны. Это приводит к тому, что административ­ными и канцелярскими обязанностями все больше приходится заниматься и тем работникам, чьи знания и способности должны быть полностью направлены на выполнение совсем других дел. Количество данных, касающихся больного, крайне велико. Одни поступают из приемного отделения, другие накапливаются у ле­чащего врача, некоторые могут уже ранее храниться в централь­ной картотеке, а некоторые поступают из таких специальных отделений, как рентгеновский кабинет, прозектура и т. д. Есть угроза, что эта обширная разветвленная система потоков данных будет становиться все более сложной. Что же можно сделать, во-первых, для повышения эффективности управления такой системой в повседневной практике, а во-вторых, для изучения поведения таких систем с целью рекомендовать те или иные улуч­шения и найти новые схемы управления этой деятельностью?

Выписка счетов и вся бухгалтерская работа в этой больнице уже была ранее автоматизирована и производилась с помощью компьютеров. Кроме того, с помощью специально разработанной программы на компьютере могут решаться такие сложные и трудоемкие задачи, как распределение ежедневных обязанностей персонала или составление графика пользования операционными.

Нет необходимости перечислять все те разнообразные задачи, которые решает компьютер в этой больнице. Главное состоит в том, что автоматизация такого рода работы вполне воз­можна, и вместо удаления человека из сферы медицинского обслу­живания достигается как раз обратный результат, поскольку врачи и медицинские сестры осво­бождаются от чисто канцелярской и технической работы.

Широкое взаимодействие человека, вычислительной техники и математики во всей области медицины по существу еще только начинается, однако оно может вызвать настоящую революцию в медицинской науке. Такое взаимодействие нужно понимать в том смысле, что все чисто канцелярские, организационные и техниче­ские функции должны быть переданы компьютерам, которые будут осуществлять их более эффективно, чем человек. В результате у врачей и медицинских сестер освобо­дится время для выполнения их прямых обязанностей, требую­щих интуиции, воображения, здравого смысла и чувства состра­дания, которых ни математика, ни компьютер заме­нить не могут.

Список использованной литературы

1. Бейли Н. Математика в биологии и медицине / Н. Бейли. – М., 1970. – 149 с.

2. Гельфанд И.М. Очерки о совместной работе математиков и врачей / И.М. Гельфанд, Б.И. Розенфельд, М.А.Шифрин; под ред. С.Г. Гиндикина. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 320 с.

3. Учайкин В.Ф., Молочный В.П. Неотложные состояния в педиатрии. - М., «ГЭОТАР – Медиа». – 2005. – 252 с.