Ма́трица — математический объект,

Матрица (математика)

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы^[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер^[⇨];

• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую {\displaystyle n}  столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую {\displaystyle n}  строк)^[⇨];

• в том числе умножение матрицы на вектор-столбец и умножение вектор-строки на матрицу (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы)^[⇨];

• умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр)^[⇨].

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.^[2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.

История[править | править код]

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений^[3] . Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.^[4]

Введение[править | править код]

Матрицы естественным образом возникают при решении систем линейных уравнений, а также при рассмотрении линейных преобразований.

Системы линейных уравнений[править | править код]

Основная статья: Система линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений вида:

{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}} .

Эта система состоит из {\displaystyle m}  линейных уравнений относительно {\displaystyle n}  неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :

{\displaystyle Ax=b} ,

где

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}};\quad x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}};\quad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}

Матрица {\displaystyle A}  — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец {\displaystyle x}  — вектор неизвестных, а вектор-столбец {\displaystyle b}  — некоторый заданный вектор.

Для того, чтобы система имела решение (хотя бы одно), необходимо и достаточно, чтобы вектор {\displaystyle b}  был линейной комбинацией столбцов {\displaystyle A} , и тогда вектор {\displaystyle x}  — это вектор, содержащий коэффициенты разложения вектора {\displaystyle b}  по столбцам матрицы{\displaystyle A} .

На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли:

ранг матрицы {\displaystyle A}  равен рангу расширенной матрицы {\displaystyle [A|b]} ,

составленной из столбцов {\displaystyle A}  и столбца {\displaystyle b} .

Важный частный случай. Если количество уравнений совпадает с количеством неизвестных ({\displaystyle m=n} , т.е. матрица {\displaystyle A}  - квадратная), то условие однозначной разрешимости является равносильным условию обратимости матрицы {\displaystyle A} .

(Замечание. Разрешимость системы ещё не влечёт невырожденности матрицы. Пример: {\displaystyle 0x=0} .)

В частности, если матрица {\displaystyle A}  является обратимой, то решение системы может быть записано (а если вычислена {\displaystyle A^{-1}} , то и найдено) в виде

{\displaystyle x=A^{-1}b} .

Этот приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера.

Линейные преобразования[править | править код]

Основная статья: Линейное отображение

Рассмотрим линейное преобразование {\displaystyle {\mathcal {A}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} , действующее из {\displaystyle n} -мерного векторного пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}  в {\displaystyle m} -мерное векторное пространство {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} , имеющее следующий вид:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}y_{1}&=&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}\\y_{2}&=&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}\\&\cdots &\\y_{m}&=&a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}\\\end{array}}\right.} .

В матричной форме это преобразование уравнения вида:

{\displaystyle y=Ax} .

Матрица {\displaystyle A}  — это матрица коэффициентов линейного преобразования.

Если рассмотреть действие линейного преобразования {\displaystyle {\mathcal {A}}}  на векторы вида

{\displaystyle e_{j}=(0,\dots ,0,1_{j},0,\dots ,0)^{T},\quad j={\overline {1,n}}} ,

составляющие базис пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , то {\displaystyle {\mathcal {A}}\mathbf {e} _{j}}  — это есть j-ый столбец матрицы {\displaystyle A} .

Таким образом, матрица {\displaystyle A}  полностью описывает линейное преобразование {\displaystyle {\mathcal {A}}} , и, поэтому, называется матрицей линейного преобразования.

Определения[править | править код] Прямоугольная матрица[править | править код]

Пусть есть два конечных множества:

• номера строк: {\displaystyle M=\{1,2,\dots ,m\}} ;

• номера столбцов: {\displaystyle N=\{1,2,\dots ,n\}} , где {\displaystyle m}  и {\displaystyle n}  — натуральные числа.

Назовём матрицей {\displaystyle A}  размера {\displaystyle m\times n}  (читается {\displaystyle m}  на {\displaystyle n} ) ({\displaystyle m}  - строк, {\displaystyle n}  - столбцов) с элементами из некоторого кольца или поля {\displaystyle {\mathcal {K}}}  отображение вида {\displaystyle A\colon M\times N\to {\mathcal {K}}} . Матрица записывается как

{\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},}

где элемент матрицы {\displaystyle a_{ij}=a(i,j)}  находится на пересечении {\displaystyle i} -й строки и {\displaystyle j} -го столбца.

• {\displaystyle i} -я строка матрицы {\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\end{pmatrix}};}

• {\displaystyle j} -й столбец матрицы {\textstyle A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}.}

При этом количество элементов матрицы равно {\displaystyle m\cdot n} .

В соответствии с этим

• каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в {\displaystyle n} -мерном координатном пространстве {\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}} ;

• каждый столбец матрицы — как вектор в {\displaystyle m} -мерном координатном пространстве {\displaystyle {\mathcal {K}}^{m}} .

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве {\displaystyle {\mathcal {K}}^{mn}} , имеющем размерность {\displaystyle mn} . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Квадратная матрица[править | править код]

Если у матрицы количество строк {\displaystyle m}  совпадает с количеством столбцов {\displaystyle n} , то такая матрица называется квадратной, а число {\displaystyle m=n}  называется размером квадратной матрицы или её порядком.

Вектор-строка и вектор-столбец[править | править код]

Матрицы размера {\displaystyle m\times 1}  и {\displaystyle 1\times n}  являются элементами пространств {\displaystyle {\mathcal {K}}^{m}}  и {\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}  соответственно:

• матрица размера {\displaystyle m\times 1}  называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

{\displaystyle \mathrm {colon} \,(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{m})=\left({\begin{array}{c}a_{1}\\\vdots \\a_{i}\\\vdots \\a_{m}\end{array}}\right)=(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{m})^{T};}

• матрица размера {\displaystyle 1\times n}  называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

{\displaystyle \mathrm {row} \,(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n})=(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n});}

Элементарные преобразования матриц[править | править код]

Основная статья: Элементарные преобразования матрицы

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на число отличное от нуля,

2. Прибавление одной строки к другой строке,

3. Перестановка местами двух строк.

Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично.

Ранг матрицы[править | править код]

Основная статья: Ранг матрицы

Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:

• столбцы матрицы {\displaystyle A}  составляют элементы пространства размерности {\displaystyle m} ;

• строки матрицы {\displaystyle A}  составляют элементы пространства размерности {\displaystyle n} .

Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Обозначения[править | править код]

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

{\displaystyle A\colon M\times N\to {\mathcal {K}},}

тогда {\displaystyle A}  — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля {\displaystyle {\mathcal {K}}}  вида {\displaystyle a_{ij}=A(i,j)} , где

• первый индекс означает индекс строки: {\displaystyle i={\overline {1,m}}} ;

• второй индекс означает индекс столбца: {\displaystyle j={\overline {1,n}}} ;

таким образом, {\displaystyle a_{ij}}  — элемент матрицы {\displaystyle A} , находящийся на пересечении {\displaystyle i} -й строки и {\displaystyle j} -го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера {\displaystyle m\times n} :

{\displaystyle A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},}

или просто

{\displaystyle A=(a_{ij}),}

если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.

Иногда, вместо {\displaystyle a_{ij}} , пишут {\displaystyle a_{i,j}} , чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},\quad \left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right],\quad \left\|{\begin{array}{ccccc}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right\|}

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

{\displaystyle a_{i\cdot }=A_{i}=[{\begin{array}{ccccc}a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\end{array}}]}  — это {\displaystyle i} -я строка матрицы {\displaystyle A} ,

а

{\displaystyle a_{\cdot j}=A^{j}=\left[{\begin{array}{c}a_{1j}\\\vdots \\a_{ij}\\\vdots \\a_{mj}\\\end{array}}\right]}  — это {\displaystyle j} -й столбец матрицы {\displaystyle A} .

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по столбцам:

{\displaystyle A=[{\begin{array}{ccccc}A^{1}&\cdots &A^{j}&\cdots &A^{n}\\\end{array}}]}

и по строкам:

{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{c}A_{1}\\\vdots \\A_{i}\\\vdots \\A_{m}\\\end{array}}\right]} .

Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

Транспонированная матрица[править | править код]

Основная статья: Транспонированная матрица

Для каждой матрицы {\displaystyle A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}  размера {\displaystyle m\times n}

можно построить матрицу {\displaystyle B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}}  размера {\displaystyle n\times m} ,

у которой {\displaystyle b_{j,i}=a_{i,j}}  для всех {\displaystyle i={\overline {1,m}}}  и {\displaystyle j={\overline {1,n}}} .

Такая матрица называется транспонированной матрицей для {\displaystyle A}  и обозначается {\displaystyle A^{T}} ,

иногда (если нет возможности спутать с дифференцированием) обозначается {\displaystyle A'} ,

иногда (если нет возможности спутать с эрмитовым сопряжением) обозначается {\displaystyle A^{*}} .

При транспонировании строки (столбцы) матрицы {\displaystyle A}  становятся столбцами (соответственно - строками) матрицы {\displaystyle A^{T}} .

Очевидно, {\displaystyle (A^{T})^{T}=A} .

Для матриц над кольцом {\displaystyle {\mathcal {K}}}  транспонирование является изоморфизмом {\displaystyle {\mathcal {K}}}  - модулей матриц, поскольку

{\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}} ,

{\displaystyle (\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})} , для любых {\displaystyle \lambda \in {\mathcal {K}}} .

Диагональная матрица[править | править код]

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые {\displaystyle (i\neq j:a_{ij}=0)} , иногда записывается как:

{\displaystyle \mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}

Другие диагонали матрицы[править | править код]

Кроме главной диагонали иногда рассматриваются элементы матрицы, стоящие непосредственно над диагональными элементами. Эти элементы образуют наддиагональ матрицы. Элементы, расположенные непосредственно под диагональю образуют поддиагональ матрицы (см. Бидиагональная матрица).

Элементы, расположенные на местах {\displaystyle a_{1,n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n,1}}  образуют побочную диагональ (см., например, Побочная диагональ или Виды матриц).

Единичная матрица[править | править код]

Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

{\displaystyle \mathrm {diag} (1,1,\dots ,1).}

Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).

Для обозначения её элементов также используется символ Кронекера {\displaystyle \delta _{ij}} , определяемый как:

{\displaystyle \delta _{ii}=1}

{\displaystyle \delta _{ij}=0}  при {\displaystyle i\neq j.}

Нулевая матрица[править | править код]

Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например {\displaystyle \Theta } .

Операции над матрицами[править | править код] Сложение матриц[править | править код]

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц {\displaystyle A+B}  есть операция нахождения матрицы {\displaystyle C} , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц {\displaystyle A}  и {\displaystyle B} , то есть каждый элемент матрицы {\displaystyle C}  равен

{\displaystyle \ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}

Свойства сложения матриц:

• коммутативность: A+B = B+A;

• ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

• сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

• существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.

Умножение матрицы на число[править | править код]

Умножение матрицы {\displaystyle A}  на число {\displaystyle \lambda \in {\mathcal {K}}}  заключается в построении матрицы {\displaystyle \lambda A=(\lambda a_{ij})} .

Свойства умножения матриц на число:

• умножение на единицу: 1A = A;

• ассоциативность: (λβ)A = λ(βA);

• дистрибутивность: (λ+β)A = λA + βA;

• дистрибутивность: λ(A+B) = λA + λB;

Умножение матриц[править | править код]

Умножение матриц (обозначение: {\displaystyle AB} , реже со знаком умножения {\displaystyle A\times B} ) — есть операция вычисления матрицы {\displaystyle C} , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}

Количество столбцов в матрице {\displaystyle A}  должно совпадать с количеством строк в матрице {\displaystyle B} , иными словами, матрица {\displaystyle A}  обязана быть согласованной с матрицей {\displaystyle B} . Если матрица {\displaystyle A}  имеет размерность {\displaystyle m\times n} , {\displaystyle B}  — {\displaystyle n\times k} , то размерность их произведения {\displaystyle AB=C}  есть {\displaystyle m\times k} .

Свойства умножения матриц:

• ассоциативность: (AB)C = A(BC);

• некоммутативность (в общем случае): AB {\displaystyle \neq }  BA;

• произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

• дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

• ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Умножение вектора на матрицу[править | править код]

По обычным правилам матричного умножения вектор-столбец умножается на матрицу, которая записывается слева от него, а вектор-строка умножается на матрицу, которая записывается справа от неё. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:

для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av):

{\displaystyle (Av)_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}v_{k},}

для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA):

{\displaystyle (sA)_{i}=\sum _{k=1}^{n}s_{k}a_{ki}.}

Вектор-строка, матрица и вектор-столбец могут быть умножены друг на друга, давая число (скаляр):

{\displaystyle sAv=\sum \limits _{k,i}s_{k}a_{ki}v_{i}.}

(Порядок важен: вектор-строка слева, вектор-столбец справа от матрицы).

Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных) форм.

• При представлении вектора вещественного векторного пространства в ортонормированном базисе (что эквивалентно использованию прямоугольных декартовых координат) соответствующие ему вектор-столбец и вектор-строка, представляющие собой набор компонент вектора, будут совпадать (поэлементно), отличаясь лишь формально своим изображением для корректности матричных операций (то есть один получается из другого просто операцией транспонирования). При использовании же неортонормированных базисов (например, косоугольных координат или хотя бы разных масштабов по осям) вектор-столбец соответствует компонентам вектора в основном базисе, а вектор-строка — в базисе, дуальном основному^[5] (Иногда о пространстве векторов-строк говорят также как об особом, дуальном пространству векторов-столбцов, пространстве ковекторов).

Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый вектор Av, полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A, преобразовать теперь ещё раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B, получив B(Av), то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы (BA), представляющую композицию первого и второго преобразований и совпадающую с обычным определением матричного умножения.

Комплексное сопряжение[править | править код]

Если элементами матрицы {\displaystyle A=(a_{ij})}  являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна {\displaystyle {\bar {A}}=({\bar {a}}_{i,j})} . Здесь {\displaystyle {\bar {a}}}  — число, комплексно сопряжённое к {\displaystyle a} .

Транспонирование и эрмитово сопряжение[править | править код]

Транспонирование уже обсуждалось выше: если {\displaystyle A=(a_{ij})} , то {\displaystyle A^{T}=(a_{ji})} . Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: {\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}} . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

Миноры[править | править код]

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его следующей информацией: о том, что такое миноры матрицы.

След[править | править код]

Основная статья: След матрицы

Для квадратной матрицы {\displaystyle A}  сумма диагональных элементов (т.е. главных миноров первого порядка) называется следом:

{\displaystyle \mathrm {Tr} A=\sum \limits _{i}a_{ii}=a_{11}+\ldots +a_{nn}}

(другие обозначения {\displaystyle \mathrm {Trace} } , {\displaystyle \mathrm {Sp} } , {\displaystyle \mathrm {Spur} } ).

Свойства:

1. Если определены {\displaystyle AB}  и {\displaystyle BA} , то {\displaystyle \mathrm {Tr} (AB)=\mathrm {Tr} (BA)} .

2. След является инвариантом преобразований подобия матрицы, т.е. если {\displaystyle S}  невырождена, то {\displaystyle \mathrm {Tr} A=\mathrm {Tr} (S^{-1}AS)} .

3. След равен сумме (всех, с учётом кратности) собственных значений матрицы: {\displaystyle \mathrm {Tr} A=\sum \limits _{i}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}} . Более того, для любого целого (положительного) числа {\displaystyle k}  выполняется {\displaystyle \mathrm {Tr} (A^{k})=\sum \limits _{i}\lambda _{i}^{k}=\lambda _{1}^{k}+\ldots +\lambda _{n}^{k}} .