Медиана. Теория вероятности и статистика

Медиана

7 класс

Вероятность и статистика

Что называется средним арифметическим набора чисел?

• Найти среднее арифметическое набора чисел:
• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

В конце учебного года 11 учеников 7-го класса сдали норматив по бегу на 100 метров. Их результаты представлены в таблице.

После того как ребята пробежали дистанцию, к преподавателю подошел Петя и спросил, какой у него результат.

“ Самый средний результат: 16,9 секунды”, – ответил учитель

“ Почему?” – удивился Петя. – Ведь среднее арифметическое всех результатов – примерно 18,3 секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к среднему, чем мой”.

“ Твой результат средний, так как пять человек пробежали лучше, чем ты, и пять – хуже. То есть ты как раз посередине”, – сказал учитель.

Рассмотрим таблицу, в которой показано число посетителей музея в разные дни недели.

• Составим из данных, приведённых в таблице, упорядоченный ряд.

В этом ряду семь чисел. По середине ряда расположено число 175: слева от него расположены 3 числа и справа тоже 3 числа. Число 175 называют   медианой упорядоченного ряда . Слово «медиана» произошло от латинского слова «медиана», которое означает «среднее».

Теперь рассмотрим таблицу, в которой показано число посетителей музея в разные дни в течение двух недель.

Снова составим из приведённых данных упорядоченный ряд.

В этом ряду чётное количество чисел, и поэтому мы не можем выбрать одно число, расположенное в середине и выберем два – 181 и 185.

Алгоритм нахождения медианы набора чисел:

• Упорядочить числовой набор
• Одновременно зачеркиваем “самое большое” и “самое маленькое” числа данного набора чисел до тех пор пока не останется одно число или два числа.
• Если осталось одно число, то оно и есть медиана.
• Если осталось два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел.

Медиана - серединное значение числового набора, упорядоченного по возрастанию. Упорядоченный числовой набор называется вариационным рядом . Медианный представитель -число из набора, наиболее близкое по значению к медиане набора.

• Медиана чаще всего близка или равна среднему арифметическому числового набора.
• Но если в числовом наборе есть выбросы - резко отличающиеся от всего набора значения, то медиана и среднее арифметическое могут сильно различаться. Медиана устойчива относительно выбросов в отличие от среднего арифметического.

Задача 1. Ученик получил в течении четверти следующие оценки по алгебре:5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5. Найдите средний балл и медиану этого набора. Если бы вы были учителем, какую бы вы поставили оценку за четверть этому ученику?

Решение:

• Найдем средний балл, то есть среднее арифметическое:
• = ( 5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4,4
• Найдем медиану этого набора чисел:
• Упорядочим набор чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
• Всего 10 чисел, чтобы найти медиану надо взять два средних числа и найти их полусумму.
• (5+5):2 = 5

Задача 2. Президент компании получает зарплату 300000 руб. три его заместителя получают по 150000 руб., сорок служащих – по 50000 руб. и зарплата уборщицы составляет 10000 руб. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат в компании. Какую из этих характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях?

Решение:

• ( 300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:45=61333,33 (руб.)- среднее арифметическое
• Медиана = 50000 руб.
• В рекламных целях выгоднее использовать среднее арифметическое зарплат, т.к. она выше.

В таблице показан примерный объем воды крупнейших озер и водохранилищ России в куб. км. 

А) Найдите средний объем воды в данных водоемах (среднее арифметическое); Б) Найдите объем воды в среднем по величине водоема (медиану данных); В) По вашему мнению, какая из этих характеристик – среднее арифметическое или медиана – лучше описывает объем типичного крупного водоема России?

Ответ :

• а) 2459 куб. км
• б) 60 куб. км
• в) Медиана, т.к. данные содержат значения сильно отличающиеся от всех прочих.

Задача 4 .

• А) Сколько чисел в наборе, если его медианой служит ее девятый член?
• Б) Сколько чисел в наборе, если его медианой служит среднее арифметическое 7-го и 8-го членов?
• В) В наборе из семи чисел наибольшее число увеличили на 14. Изменится ли при этом и как среднее арифметическое и медиана ?
• Г) Каждое из чисел набора увеличили на 3. Что произойдет со средним арифметическим и медианой?

Задача 5. Конфеты в магазине продают на развес. Чтобы узнать, сколько конфет содержится в одном килограмме, Маша решила найти вес одной конфеты. Она взвесила несколько конфет и получила следующие результаты: 12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.Оцените вес одной конфеты, используя медиану и среднее арифметическое.

Решение.

• Среднее арифметическое = 13,33
• Медиана = 13
• Для оценки веса одной конфеты пригодны обе характеристики, т.к. они не сильно отличаются друг от друга.

Итак, для характеристики статистической информации используют среднее арифметическое и медиану .