Украина, Макеевка
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 07.06.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 12.12.2022 07:56
Дзюба Светлана Ивановна
Учитель математики
66 лет
1 658
36 852 
Местоположение
Специализация
Метод интервалов (9 класс)
Категория:
Алгебра
28.01.2022 08:46
Просмотр содержимого документа
«Метод интервалов (9 класс)»
Выполнила Дзюба Светлана Ивановна, учитель математики МБОУ «Средняя школа №53 города Макеевки».
Метод интервалов
Решение неравенств
Для начала: определение квадратного неравенства.
- Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
- Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
- Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
- Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
- Квадратное неравенство выглядит так:
где x — переменная,
a, b, c — числа,
при этом а ≠ 0.
Квадратные неравенства можно решить двумя способами:
Графический метод
Метод интервалов
Примеры решения
Графический метод
Повторим
0 . Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два корня ; D . Если дискриминант меньше нуля, тогда у квадратного уравнения нет корней . В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a , возможно одно из шести расположений графика функции у = ax² + bx + c . " width="640"
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 . Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
- D = 0 . Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень ;
- D 0 . Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два корня ;
- D . Если дискриминант меньше нуля, тогда у квадратного уравнения нет корней .
В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a , возможно одно из шести расположений графика функции у = ax² + bx + c .
Решение неравенства графическим методом (продолжение)
Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax² + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ .
Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax² + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ .
Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.
Метод интервалов
, Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств. Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать. " width="640"
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: ,
Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.
Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.
Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:
- Найти нули квадратного трехчлена ax² + bx + c из левой части квадратного неравенства.
- Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней. Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.
- Определить, какие знаки имеют значения трех- члена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если ну- лей нет) . И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +. Если неравенство со знаком В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства. Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −. Выбрать необходимые интервалы и записать ответ. " width="640"
Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов (продолжение):
- Если квадратное неравенство со знаком или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +. Если неравенство со знаком
- В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.
- Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.
- Выбрать необходимые интервалы и записать ответ.
Немного подробнее про 3 шаг алгоритма
Для примера возьмем трехчлен x² + 4x - 5 , его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).
Определим знак трехчлена x² + 4x - 5 на промежутке (1, +∞) . Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2 . Подставим его в трехчлен вместо переменной x :
- 2² + 4 * 2 - 5 = 4 + 8 - 5 = 7.
7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.
Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1) . Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:
- 0² + 4 * 0 - 5 = 0 + 0 - 5 = -5.
Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.
Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5) . Возьмем x = -6 , подставляем:
- (-6)² + 4 * (-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7.
Следовательно, искомый знак — плюс.
0 , последовательность знаков: +, −, +, если a , последовательность знаков: −, +, −. Можно также сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a : если a 0, последовательность знаков: +, +, если a Например -4x^2 - 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x² есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен. Когда квадратный трехчлен при D 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −. Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −. Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D a , так и со знаком свободного члена c . " width="640"
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a :
если a 0 , последовательность знаков: +, −, +,
если a , последовательность знаков: −, +, −.
Можно также сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a :
если a 0, последовательность знаков: +, +,
если a
Например -4x^2 - 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x² есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.
- Когда квадратный трехчлен при D 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
- Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
- Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D a , так и со знаком свободного члена c .
0. Второй: х - 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2. Вывод: знак произведения (х - 3) * (х - 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2. Построим чертеж . " width="640"
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x² - 5x + 6 ≥ 0.
- Как решаем:
- Разложим квадратный трехчлен на множители .
Неравенство примет вид:
(х - 3) * (х - 2) ≥ 0
- Проанализируем два сомножителя :
Первый: х - 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х - 3 0.
Второй: х - 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.
Вывод: знак произведения (х - 3) * (х - 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.
- Построим чертеж .
0 (2,5 - 3) (2,5 - 2) = -0,5 * 0,5 = - 0,25 Вывод: при х 0. Отобразим эти данные на чертеже: Вывод: при 2 " width="640"
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x² - 5x + 6 ≥ 0.
- Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.
- 2
- х
Подставляем:
(-1 - 3) * (-1 - 2) = -4 * (-3) = 12; 12 0
(2,5 - 3) (2,5 - 2) = -0,5 * 0,5 = - 0,25
Вывод: при х 0. Отобразим эти данные на чертеже:
Вывод: при 2
3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25. Исходное неравенство : (х - 3) * (х - 2) ≥ 0. Если (х - 3) * (х - 2) 0: Подставляем: (x - 3) * (x + 3/2) 0. (25 - 3) (25 - 2) = 22*23 = 506 0 Если (х - 3) (х - 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2. Вывод : при х 3 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) 0. Внесем эти данные в чертеж. Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми. Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3. " width="640"
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x² - 5x + 6 ≥ 0.
- х 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
- Исходное неравенство : (х - 3) * (х - 2) ≥ 0. Если (х - 3) * (х - 2) 0:
Подставляем:
(x - 3) * (x + 3/2) 0.
(25 - 3) (25 - 2) = 22*23 = 506 0
Если (х - 3) (х - 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.
Вывод : при х 3 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) 0. Внесем эти данные в чертеж.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.
(самостоятельно)
Примените метод интервалов для решения неравенства х²+4х+3
- Как решить неравенство методом интервалов нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:
Ответ: -3
Пример 2. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:
- Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
- Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
- Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞). Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:
- Так как мы решаем неравенство со знаком
- Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).
Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).
На этом урок завершён, спасибо за внимание!
© 2022, Дзюба Светлана Ивановна 2745 70
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
