Метод математической индукции

Практическая работа

Решение задач на доказательство утверждений методом математической индукции.

Цель занятия:

• Учить доказывать тождества методом математической индукции;

• учить доказывать справедливость формулы для суммы ряда методом математической индукции;

• учить доказывать делимость выражения на данное число.

Пояснение к работе

В основе всякого научного исследования, в том числе и математического, лежат дедуктивный и индуктивный методы.

Дедукция (от лат. deductio - выведение) – это переход от общего к частному.

Индукция (от лат. inductio — наведение) – это вид обобщений, полученный путем заключения от частного к общему.

Дедуктивный метод в математике применяется, например, в рассуждениях: «данная фигура является прямоугольником, так как у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны».

Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Оказывается, для проверки индуктивных умозаключений не­обходимо большое число частных случаев, примеров, опытов, подтверждающих данный вывод. Но для опровержения индуктив­ного умозаключения достаточно одного единственного контрпри­мера, противоречащей инстанции. Так, для подтверждения того, что все жвачные животные имеют рога, надо приводить в каче­стве примера все множество жвачных животных: коз, оленей, ко­ров и т.д. Но для опровержения достаточно в качестве единствен­ного примера использовать верблюда.

работает для конечного множества, исследует не все, а лишь

в котором можно проверить некоторые элементы

все элементы множества

Неполная индукция, как правило, может приводить часто к ошибочным результатам. Метод полной индукции имеет лишь ограниченное применение. Мы часто рассматриваем бесконечные множества, а провести проверку для бесконечных элементов человек не может. Но в математике существует метод индукции, который помогает проверить бесконечные элементы.

Принцип математической индукции заключается в следующем.

Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1. Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел, при котором закономерность имеет смысл.

2. Из справедливости утверждения, для какого либо произвольного натурально n=k, следует его справедливость для n=k+1.

Алгоритм доказательства методом математической индукции.

1. Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел, при котором гипотеза имеет смысл (базис).

2. Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1.

3. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.

Метод математической индукции чаще всего применяется к натуральным числам и счетным множествам для доказательства формул, неравенств, делимости натуральных чисел и комбинаторных формул.

Пример 1. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:

Решение:

1. Проверим равенство при n=1. Имеем , 1=1 – значит, формула верна.

2. Гипотеза: предположим, что данная формула справедлива для n=k, то есть

.

1. Докажем, что формула верна для n=k+1, то есть имеет место выражение

упростив выражение и воспользовавшись гипотезой, имеем

что после приведения к общему знаменателю примет вид

после преобразования получим

Видим, что формула справедлива для n=k+1 при условии ее выполнимости при n=k, следовательно, она справедлива для любого натурального числа n.

Метод математической индукции широко применяется для доказательства делимости чисел.

Пример 2. Доказать, что кратно 35.

Методом математической индукции можно доказывать неравенства. При этом нужно особенно внимательно относиться к первому этапу алгоритма, так как в условии не всегда оговаривается его область определения.

Пример 3. Доказать справедливость неравенства

Задание

1. Изучить самостоятельно методические рекомендации по проведению практической работы №11

2. Доказать тождество методом математической индукции по заданию 1.

3. Доказать справедливость формулы для суммы ряда методом математической индукции по заданию 2.

4. Доказать методом математической индукции, что при любых натуральных чисел n данное выражение делится на данное число (по заданию 3).

5. Ответить на контрольные вопросы.

Варианты заданий.

Вариант 1

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 2

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 3

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 4

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 5

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 6

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 7

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 8

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 9

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Вариант 10

Зад. 1.

Зад. 2.

Зад. 3.

Контрольные вопросы

1. Что такое дедукция?

2. Что такое индукция?

3. Какая бывает индукция? Чем отличаются виды индукции?

4. Каким образом доказать тождество методом математической индукции?

5. В чем заключается метод математической индукции?

6. Где еще применяется метод математической индукции?