Метод математической индукции

Метод Математической Индукции

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Цель работы:

• познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить её при решении задач и доказательстве теорем,
• обосновать и наглядно показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач,
• сформировать представления о математике как части общечеловеческой культуры.

Переход от общих утверждений к частным называется

дедукцией.

В математике часто приходится от частных утверждений переходить к общим, т.е. использовать метод, противоположный дедуктивному, который называется

индукцией .

Пример неполной индукции

P(х)= х 2 + х+ 41

Р(1)= 43; Р(2)=47; Р(3)= 53; Р(4)= 61; Р(5)= 71

Р(0)=41; Р(-1)=41; Р(-2)=43; Р(-3)=47; Р(-4) =53

Возникает гипотеза , что значение трехчлена Р(х) является простым числом при любом целом значении х .

Но высказанная гипотеза ошибочна , так как, например, Р(41)= 41 2 +41+41=41∙43.

Вывод:

Метод неполной индукции, как мы видим, не приводит к вполне надежным выводам, но он полезен тем, что позволяет сформулировать гипотезу , которую потом можно доказать точным математическим рассуждением или опровергнуть.

Принцип математической индукции:

Если предположение, зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k

(где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение истинно для любого натурального числа n.

Этапы решения:

1.база ( показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев ( п = 1);

2.предположение (предполагаем, что утверждение доказано для первых к случаев;

3 . шаг ( в этом предположении доказываем утверждение для случая п = к + 1);

4.вывод ( у тверждение верно для всех случаев, то есть для всех п) .

-1 имеет место неравенство, называемое неравенством Бернулли ( названо в честь швейцарского математика XVII в. Якова Бернулли) : (1+a) п ≥ 1 + ап. 1) Если п=1 , то очевидно, что неравенство верно: (1+а) 1 ≥ 1+а. 2) Предположим, что неравенство верно при n=k: (1+a) k ≥ 1 + ak. (1+a) k+1 ≥ 1+ak+a+a 2 k. (1+a) k+1 ≥ a(k+1). Полученный результат показывает, что неравенство верно и при n=k+1. " width="640"

Неравенство Бернулли

Доказать, что для любого натурального числа п и любого действительного числа а -1 имеет место неравенство, называемое неравенством Бернулли ( названо в честь швейцарского математика XVII в. Якова Бернулли) : (1+a) п ≥ 1 + ап.

1) Если п=1 , то очевидно, что неравенство верно: (1+а) 1 ≥ 1+а.

2) Предположим, что неравенство верно при n=k: (1+a) k ≥ 1 + ak.

(1+a) k+1 ≥ 1+ak+a+a 2 k.

(1+a) k+1 ≥ a(k+1).

Полученный результат показывает, что неравенство верно и при n=k+1.

Второй вариант метода математической индукции.

Некоторые утверждения справедливы не для всех натуральных п, а лишь для натуральных п, начиная с некоторого числа р.

Утверждение верно при всех натуральных значениях п ≥ р, если: 1)оно верно при п =р (а не при п = 1, как было сказано выше);

2)из справедливости этого утверждения при п = k , где k ≥ р (а не k ≥ 1, как сказано выше), вытекает, что оно верно и при п = k + 1.

Докажем, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π(n-2).

1. Минимальное число углов — три. Поэтому начнем доказательство с n = 3. Получаем, что для треугольника формула дает π (3~2) = π Утверждение для n = 3

справедливо.

2. Допустим, что формула верна при n=k. Докажем, что она верна для любого выпуклого (к +1) -угольника. Разобьем (к +1) -угольник диагональю

так, что получим k-угольник и треугольник.

Так как формула верна для треугольника и k-угольника, получаем π (к - 2) + π = π (к -1).

Итак, индукция (от лат. inductio — наведение, побуждение) — одна из форм умозаключения, приём исследования, применяя который от знания отдельных фактов приходят к общим положениям.

Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д.