Методическая разработка по математике. 8 класс. Формулы площадей многоугольников.

Методическая разработка по математике.8 класс. Формулы площадей многоугольника.

Вначале уделим внимание тому, что вспомним все основные теоремы, формулы и факты, полученные нами при изучении главы «Площадь», и акцентируем внимание на их особенностях. Затем рассмотрим сложный пример на комплексное применение нескольких из упомянутых фактов, касающихся площадей фигур.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны (см. Рис. 1).  .

Рис. 1. Квадрат

2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (см. Рис. 2).   .

Рис. 2. Прямоугольник

          3. Площадь параллелограмма равна произведению основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 3).  .

Рис. 3. Параллелограмм

4. Площадь произвольного треугольника равна половине произведения основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 4).  .

Рис. 4. Произвольный треугольник

5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (см. Рис. 5).  .

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

6. Если у двух треугольников высоты равны ( ), то их площади относятся, как основания (см. Рис. 6).  . Полезный факт, необязательный к изучению.

Рис. 6

7. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 7).   .

Рис. 7

8. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей (см. Рис. 8).  . Однако, поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, то его площадь можно находить и по формуле площади параллелограмма.

Рис. 8. Ромб

9. Если у двух треугольников равны углы ( ), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы (см. Рис. 9).  . Полезный факт, не обязательный к изучению.

Рис. 9

10. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (см. Рис. 10).  .

Рис. 10. Трапеция

11. Теорема Пифагора. Для прямоугольного треугольника с катетами   и   и гипотенузой   квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов   (см. Рис. 11).

Теорема, обратная теореме Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел  , такой, что  , существует прямоугольный треугольник с катетами   и гипотенузой  .

Рис. 11

12. Формула Герона. Применяется для нахождения площади треугольника, если известны длины его сторон (см. Рис. 12).  , где   полупериметр треугольника.

Рис. 12

2. Рассмотрение сложного примера

Пример 1. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 м и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.

Решение. Изобразим Рис.13.

Рис. 13

Нам известно:   высота в  .

Найдем по теореме Пифагора гипотенузу треугольника:  .

Для того чтобы в дальнейшем выразить высоту треугольника, вычислим его площадь с помощью катетов:  . Выразим высоту треугольника   из формулы площади произвольного треугольника:  .

Рассмотрим треугольник   (первый из тех, на которые высота разбила треугольник  ). Его площадь как прямоугольного  . Поскольку сторона   не известна, найдем ее по теореме Пифагора:  . Тогда  .

Площадь треугольника   (второго из тех, на которые высота разбила треугольник  ) можно найти аналогично либо путем вычитания из площади треугольника   площади треугольника  . Но воспользуемся тем же методом, который мы уже применяли в этой задаче.   прямоугольный, следовательно,  . Найдем  :  . Тогда  .

Ответ:  ;  .