Методическая разработка по теме "Показательные уравнения" (11 класс)

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ .

1. Метод уравнивания показателей.

2. Метод введения новой переменной.

3. Вынесение за скобки.

4. Использование однородности.

5. Функционально – графический

1. Метод уравнивания показателей

Решая показательное уравнение необходимо привести их к простейшим.

1) 16 x+3 = 4 x

2 4x+12 = 2 2x ;

4x+12 = 2x;

x = -6;

Ответ: -6

2) 2• 3 х+1 - 4• 3 х-2 = 150 3) 7 х+2 + 4• 7 х-1 = 347

3 х-2 (2• 3 3 – 4) = 150 7 х-1 (7 3 + 4) = 347

3 х-2 •50 = 150 7 х-1 • 347 = 347

3 х-2 = 3 7 х-1 = 1

х=3 х = 1

Ответ: 3. Ответ: 1.

2.Метод введения новой переменной

Уравнения вида Аa 2х + Вa х + С = 0.

Эти уравнения сводятся к квадратным путем замены выражения a х новой переменной.

После решения получившегося квадратного уравнения возвращаются к старой переменной и решают простейшие показательные уравнения.

0, получим t 2 + 2t – 24 = 0. Корни полученного квадратного уравнения 4 и -6. -6 - посторонний корень. Решив уравнение 2 х = 4, х=2. Ответ: 2. " width="640"

Пример 1 . 4 х + 2 х+1 – 24 = 0.

2 2х +2 • 2 х -24 = 0.

Сделав замену 2 х = t, где t 0,

получим t 2 + 2t – 24 = 0.

Корни полученного квадратного уравнения 4 и -6.

-6 - посторонний корень.

Решив уравнение 2 х = 4,

х=2.

Ответ: 2.

0; тогда t 2 = 3 2x = 9 x . Получим квадратное уравнение: t 2 -8t-9=0; его корнями являются числа: 9 и -1. Условию t0 удовлетворяет только t=9. Решим уравнение 3 x =9. x = 2. Ответ: 2. " width="640"

Пример 2. 3 2x -8·3 x -9 = 0

Решение: Сделаем замену: t = 3 x ,

при этом t0; тогда t 2 = 3 2x = 9 x .

Получим квадратное уравнение:

t 2 -8t-9=0;

его корнями являются числа: 9 и -1.

Условию t0 удовлетворяет только t=9. Решим уравнение 3 x =9.

x = 2.

Ответ: 2.

0; тогда t 2 = 2 2x = 4 x . Получим квадратное уравнение: t 2 -12t+32=0; его корнями являются числа 8 и 4. Условию t0 удовлетворяют оба корня. Решим уравнения 2 x =8 и 2 x =4. Получаем корни исходного уравнения: x = 3 и x = 2. Ответ: 2; 3. " width="640"

Пример 3. 4 x -12·2 x +32 = 0

Решение: Сделаем замену: t = 2 x ,

при этом t0; тогда t 2 = 2 2x = 4 x .

Получим квадратное уравнение:

t 2 -12t+32=0;

его корнями являются числа 8 и 4.

Условию t0 удовлетворяют оба корня.

Решим уравнения 2 x =8 и 2 x =4.

Получаем корни исходного уравнения:

x = 3 и x = 2.

Ответ: 2; 3.

1,то за скобки выносим степень с наименьшим показателем 3 x−1 • (2 • 3 2 −6−3 1 ) =9, 3 x−1 • 9=9, 3 x−1 =1, x−1=0, x=1  Ответ: x=1 " width="640"

3. ВЫНЕСЕНИЕ ЗА СКОБКУ

Пример 1.

Решите уравнение 2 • 3 x+1 −6 • 3 x−1 −3 x =9

Решение: Так как a 1,то за скобки выносим степень с наименьшим показателем 3 x−1 • (2 • 3 2 −6−3 1 ) =9,

3 x−1 • 9=9,

3 x−1 =1,

x−1=0, x=1 

Ответ: x=1

Пример 2.

Решите уравнение.

3 x + 1 - 2 · 3 x - 2 = 25 3 x · 3 - 2 · 3 x · 3 -2 = 25 3 x ( 3 – 2/9 ) = 25 3 x · 25/9 = 25 3 x = 9 х = 2

Ответ: 2.

0: 2 x √x+1 +7·2 x = -0.5·√x+1 -3.5 Перенесём слагаемые в одну часть и сгруппировав, разложим на множители: (√x+1 + 7)(2 x + 0.5) = 0. Область определения уравнения: x ≥ -1. У первого множителя нет корней, и второй множитель корней не имеет тоже. Наше уравнение корней не имеет. Ответ: Решений нет. " width="640"

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОРОДНОСТИ

Пример 1. 4 x √x+1 +7·4 x = -0.5·2 x √x+1 -3.5·2 x

Решение:

Поделим обе части уравнения на 2 x 0: 2 x √x+1 +7·2 x = -0.5·√x+1 -3.5

Перенесём слагаемые в одну часть и сгруппировав, разложим на множители:

(√x+1 + 7)(2 x + 0.5) = 0.

Область определения уравнения: x ≥ -1. У первого множителя нет корней, и второй множитель корней не имеет тоже.

Наше уравнение корней не имеет.

Ответ: Решений нет.

0 : 3 x / 5 x = 1 ( 3/5 ) x = 1 ( 3/5 ) x = ( 3/5 ) 0 х = 0 Ответ:0. " width="640"

Пример 2. 3 x = 5 x

Решение:

3 x = 5 x

Поделим обе части уравнения на 5 x 0 : 3 x / 5 x = 1 ( 3/5 ) x = 1 ( 3/5 ) x = ( 3/5 ) 0 х = 0

Ответ:0.

0; тогда t 2 = 2.5 2x . Получим квадратное уравнение: 2t 2 +t-15 =0; его корнями являются числа: 2,5 и -3. Условию t0 удовлетворяет только t=2,5. Решим уравнение 2,5 x =2,5; x = 1. Ответ: 1. " width="640"

Пример 3.

2·25 x +10 x -15·4 x = 0

Решение: Запишем данное уравнение так:

2·5 2x +10 x -15·2 2x = 0.

Поделим уравнение на 2 2x , получим

2·2.5 2x +2.5 x -15 = 0

Сделаем замену:

t = 2.5 x , при этом t0; тогда t 2 = 2.5 2x .

Получим квадратное уравнение:

2t 2 +t-15 =0;

его корнями являются числа:

2,5 и -3.

Условию t0 удовлетворяет только t=2,5.

Решим уравнение 2,5 x =2,5;

x = 1.

Ответ: 1.

3. Функционально – графический метод

Устные упражнения

1. 1) Найти область определения выражения:

а) х ; б) (х – 1) -1 ; в) х 3 +6.

2) Сравните числа:

а) ( 1/5) 1/2 и 2 -0,2 ;

б) 5 · 0,4 1,4 и 2 · 2,5 -0,5 .

3) Вычислить:

а) 16 1/4 ;

б) 243 0,2 ;

в) (-125) 1/3 ;

г) 3 1/6 · 2 4/3 : 3 1/6 ;

д) ( х ) 8/3 · ( х ) 7/6 .

2. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными:

а) y = 2 x ;

б) y = x 2 ;

в) y =(-3) x;

г) y =( 2/7) x ;

д) y = x;

е) y =(x - 2) 3 ;

ж) y = x ;

з) y = 3 -x .

3. Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими:

а) y = 5 x ;

б) y = (0,5) x ;

в) y =(2/5 ) x ;

г) y = 10 x ;

д) y =(1/4) x ;

е) y = (7) x ;

ж) y = 49;

з) y =(14 cos( )) -x .

25 8. Укажите число целых решений неравенства 9. Решите уравнение: 2 • 4 х -3 • 10 х = 5 • 25 х 10. Сколько целочисленных решений неравенства (2/5) х+1 1 принадлежит отрезку [–5;5] ? " width="640"

ТЕСТ 1.

1. Найдите корень уравнения 5 х-7 = 1/125

2. Найдите корень уравнения (1/5) 12-х =125

3. Найдите корень уравнения 36 х-7 = 1/6

4. Решите уравнение: 2 х = 16 •

5. Решите уравнение: 3 х+1 +5 • 3 х =72

6. Найдите корни уравнения 3 2х+1 -4 • 3 х+1 + 9=0

Если получится два корня, то в ответе запишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.

7. Укажите наименьшее целое решение неравенства

5 2х+9 25

8. Укажите число целых решений неравенства

9. Решите уравнение: 2 • 4 х -3 • 10 х = 5 • 25 х

10. Сколько целочисленных решений неравенства (2/5) х+1 1 принадлежит отрезку [–5;5] ?

Проверка теста.

№

1

ОТВ.

4

2

3

15

4

6,5

5

4,6

6

2

7

0

8

-3

9

1

10

-1

6

ТЕСТ 2.

1. Найдите корень уравнения 3 х-18 = 1/9

2. Найдите корень уравнения (1/5) 11-х = 125

3. Найдите корень уравнения 9 х-2 = 1/3

4. Решите уравнение: 3 х = 27 •

5. Решите уравнение: 2 х+2 +7 • 2 х =88

6. Решите уравнение: 5 2х-1 +5 х+1 =250

Если получили два корня, то в ответе запишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.

7. Укажите наибольшее целое решение неравенства

6 2х-7 36

8. Укажите число целых решений неравенства

9. Решите уравнение: 5 • 4 х +23 • 10 х -10 • 25 х =0

10. Сколько целочисленных решений неравенства 2 х 2 ≥16

принадлежит отрезку [– 3 ; 3 ] ?

Проверка теста.

№

1

ОТВ.

14

2

3

14

4

1,5

5

3,5

6

3

7

2

8

4

9

1

10

1

4

2x + 3 x = 2x + 3 x " width="640"

• КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

• Одно из свойств показательной функции: a x a y равняется a x + y a x y a x - y a 2(x + y)
• Еще одно из свойств: a x / a y равняется

• a x / y a x - y a 2(x - y) a x y

• Уравнение a f(x) =b эквивалентно уравнению

• f(x) = log a b f(x) = log b a f(x) = ln b f(x) = ln a

• Решением уравнения -4 = 2 x является

• -2 2 0 Нет решения

• Неравенство a x 2x + 3 при a больше 0 и меньше 1 эквивалентно неравенству

• x x 2x + 3 x = 2x + 3 x