Методическая разработка по теме "Системы счисления"

по дисциплине «Информатика»

г. Калининград

2018- 2019 учебный год

Данная методическая разработка предназначена для учеников любой формы обучения по предмету «Информатика»;

направлена на формирование начальных учебных навыков по теме «Системы счисления»; содержит подробный разбор методики, а также практическую часть; будет также полезна при закреплении материала и сдачи экзамена.

1. Введение…………………………………………...………………………………………………стр. 4

2. Понятие о системах счисления…………………………………………………………………стр. 5

3. Непозиционные системы счисления……………………………………………………..……стр. 6

4. Позиционные системы счисления……………………………..……………………….……стр. 7-8

5. Двоичная система счисления. Метод перевода……………………………………………стр. 8-9

6. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую………..….……………стр. 10-11

7. Арифметические операции в позиционных системах счисления……………….…….стр.12-14

8. Приложение 1………………………………………………………………...…...……………..стр. 15

9. Список используемой литературы и электронных ресурсов………….…..……………..стр. 16

Введение

Учебно-методическая разработка содержит весь необходимый материал для проведения уроков информатики по теме «Системы счисления»:

• теоретический материал;

• разбор решения типовых задач;

• задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. 

Для подготовки ученика к экзамену по информатике у учителя всегда должны быть под руками соответствующие электронные продукты – обучающие, контролирующие, моделирующие. Данные продукты можно найти на образовательных ресурсах, представленных в списке литературы.

Цель работы: закрепление навыков решения заданий по информатике с использованием систем счисления.

Опираясь на необходимость самостоятельной работы студентов при подготовке к экзамену, примеры задач с решениями рекомендую скопировать на домашний компьютер и, тогда каждый студент, используя их для самоконтроля, решает задачи в необходимом ему темпе, порядке и объеме. При этом регулирует сам нагрузку при подготовке к итоговой аттестации (здоровьесберегающий аспект).

Актуальность и значимость разработки:

Данная разработка в первую очередь адресована ученикам, чтобы дать им востребованный инструмент подготовки к экзамену, обеспечив большим объемом задач, а работу учителя в аудитории – интерактивными задачниками, которые с применением проектора, экрана или интерактивной доски использую для разбора решения типичных задач.

Понятие о системах счисления

Вся информация, которою обработает компьютер, должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр – 0 и 1. С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса.

Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.

Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.

Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Числа записываются с использование особых знаковых систем, которые называют системами счисления.

Система счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

Системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа, называются позиционными системами счисления.

Система счисления называется непозиционной, когда значения цифры не зависит от её положения в числе.

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления первичны по своему происхождению; но поскольку они имеют ряд недостатков по сравнению с позиционными системами счисления, то постепенно они потеряли свое значение. Хотя до настоящего времени еще используется римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Числа в римской системе счисления записываются по следующим правилам.

1) если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI=6;

2) если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL=40, XXL-нельзя;

3) цифры M,C,X,I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;

4) цифры D,L,V могут использоваться в записи числа только по одному разу.

Например число 1996 будет записано в римской система счисления как MCMXCVI.

Самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число 3999 (MMMCMXCIX). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить еще новые обозначения.

Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных система счисления:

а)Необходимость использования большого количества символов для записи больших чисел.

б) неудобство выполнения арифметических операций.

Позиционные системы счисления

Позиционной называется такая система счисления, в которой величина цифры зависит от позиции (места), занимаемой этой цифрой в записи числа. Примером позиционной системы счисления служит арабская система счисления, которой мы обычно пользуемся. Если взять два числа 102 и 21, то цифра 1 в первом числе в 100 раз "тяжелее" той же цифры во втором числе. А вот цифра 2 в первом числе в 10 раз "легче" этой же цифры во втором числе.

Рассмотрим числа 13, 5234 и 351. В числе 13 тройка обозначает три единицы. В числе 5234 – три десятка, В числе 351 – три сотни.

Запишем эти числа в десятичной системе счисления.

13=1*10+3=1*101+3*100

351=3*100+5*10+1=3*102+5*101+1*100

5294=5*1000+2*100+3*10+4=5*103+2*102+9*101+4*100

  Разряд -  позиция цифры в числе.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено в развернутом виде. Пусть q - основание системы счисления, n -  число разрядов целой части числа, ai - цифра числа, Aq - само число. Тогда развернутую форму для числа представленного в любой системе счисления можно записать в общем виде следующим образом:

      Aq = an-1*qn-1 + an-2*qn-2 +  ... + a0*q0 

Алфавит системы счисления – совокупность символов, используемых в данной системе счисления. Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.

Таблица 1.

Практическая часть

Проверьте, правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) 6783₁₀; б) А4=6023₄; в) А3=10021₃; г) А2=2222₂;

д) AXZ₁₆; е) ABCDEF₁₆;

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Числа в двоичной системе счисления в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают 0 и 1.

Например, 1102=1*22+1*21+0*20=610

Метод перевода

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму.

1. Последовательно выполняется деление исходного целого числа и получаемых целых частных на основание системы счисления (на 2) до тех пор, пока не получится частное меньше делителя.

2. Записываем остатки в обратной последовательности.

Пример: 15₁₀  → ?₂

15₁₀ = 1111₂

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Пример: Число перевести в десятичную систему счисления.

Практическая часть

1. Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

13; 55; 459; 112; 66; 78; 653; 35; 43; 65

2) Перевести числа в десятичную систему счисления:

1. 1101

2. 110111

3. 101010

4. 1101101

5. 10101110

6. 111011

7. 101011

8. 101011110

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Пример 1. Перевести десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления:

Получаем: 173₁₀=255₈

Пример 2. Перевести десятичное число 173₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

Получаем: 173₁₀=AD₁₆.

Пример 3. Перевести десятичное число 11₁₀ в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

Получаем: 11₁₀=1011₂.

Пример 4. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363₁₀ в двоичное число.

Получаем: 363₁₀=101101011₂

Практическая часть

1. Перевести числа из десятичной системы счисления в другую.

1. 245₁₀=?₄

2. 87₁₀=?₈

3. 79₁₀=?₅

1. Перевести числа из системы счисления в десятичную.

1. 36₈=?₁₀

2. 23₄=?₁₀

3. 56А₁₆=?₁₀

1. Проверить равенства:

1. 25₁₀=34₈

2. 47₁₀=101111₂

3. 108₁₀=6С₁₆

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Из всех позиционных систем особенно проста двоичная система счисления. Рассмотрим выполнение основных арифметических действий над двоичными числами. 

Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:

1. справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком;

2. правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Сложение:

Первые три строчки таблицы нам привычны, в четвертой 1 + 1 = 10, так как если мы рассмотрим сложение двух единиц в десятичной системе счисления то 1 + 1 = 2 и 2 переведем в двоичную систему счисления, то получим 10₂.

Пример: 1101+110=10011

Умножение:

Пример:

Вычитание:

Пример:

Практическая часть

1. Выполнить сложение над заданными числами.

1. 110; 11 (1001)

2. 111, 101 (1100)

3. 101010; 11001 (1000011)

4. 111011; 101011 (1100110)

5. 1110; 1111 (11101)

1. Выполнить вычитание над заданными числами:

1. 100; 10 (10)

2. 110; 11 (11)

3. 100; 11 (1)

4. 1000; 101 (11)

1. Выполнить указанные действия в заданной системе счисления:

   1. 111011+1001 (1000100; 59; 9)

   2. 11101- 1111 (1110; 29; 15)

Заданные числа и полученные результаты арифметических операций перевести в десятичную систему счисления и выполнить проверку полученных результатов в десятичной системе счисления.

Приложение 1.

Тест по теме: «Системы счисления».

Вопросы теста:

1 вариант

1. Проверить равенство:

1001011₂=300₅

1. Проверить равенство:

456₈=346₇

1. Вычислить сумму чисел и результат представить в двоичной системе счисления:

35₄+67₈

1. Вычислить разность чисел и результат представить в десятичной системе счисления:

65₇ - 34₆

2 вариант

1. Проверить равенство:

001101₂=115₈

1. Проверить равенство:

25₄=36₈

1. Вычислить сумму чисел и результат представить в двоичной системе счисления:

22₃+34₈

1. Вычислить разность чисел и результат представить в десятичной системе счисления:

25₈ -10₂

Список используемой литературы и электронных ресурсов

1.Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Информатика и ИКТ, 10-11 класс, 2012.

2.М.С. Цветкова, Л.С. Великович, «Информатика и ИКТ», Москва, 2013

3Михеева Е.В. Информационные технологии в профессиональной деятельности. 2015 г.

4.http://открытыйурок.рф/

5.https://learningapps.org/

6.https://www.openclass.ru/