Методические "находки"

Нахождение наибольшего и наименьшего значений некоторых функций

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений некоторых функций можно обойтись без производной.

1. Если функция содержит квадратный трехчлен

а) под знаком квадратного корня,
б) в показателе,

в) под знаком логарифма,

то наибольшее (наименьшее) значение функции в точке х_о=-в/2а, то есть в абсциссе вершины параболы. Остается вычислить значение функции в этой точке.

Найти наименьшее (наибольшее) значения функций:

Примеры:

1) у=х²+40х+625,

В точке хо= -20 значение у(-20)=15 Ответ 15

2)у=5 ^х2-8х+19

х_о=4, у(4)=125 Ответ 125

1. Если функция содержит lnu, то вычислить можно только если u=1 и тогда ln1=0

1. У=4х²-13х+5lnх-8 на (1/14;15/14)

х=1

у(1)=-17 Ответ -17

1. У=ln(х+8)-3х на (-7,5;0)

Х+8=1

Х=-7

У(-7)=21 Ответ 21

1. У=6х-ln(х+6)⁶ на (-5,5;0)

Х+6=1 или Х+6=-1

Х=-5 или Х=-7 не принадлежит промежутку

У(-5)=-30 Ответ -30

1. Если функция содержит е^u, то вычислить можно только если u=0, тогда е^о=1.

1. У=(7х²-56х+56)е^х на (-3;2)

Х=0

У(0)=56 Ответ 56

1. У=(х-11)е^х-10 на (8;14)

Х-10=0

Х=10

У(10)= -1 Ответ -1

1. Если функция содержит синус, косинус, тангенс, котангенс, то для «хорошего» вычисления можно рассуждать логически:

Пример: 1) у=2cosХ + (3-(п/3 на (о;п/2)

Второе и третье слагаемые должны быть противоположны, поэтому (3х=(3п/3 откуда х=п/3

У(п/3)=1 ответ 1

1. Наибольшее значение у= 12х- 12тгх-18 на (0;п/4)

Угол, содержащий п подставлять нельзя, значит х=0

У(0)= -18 Ответ. -18

Угол между плоскостями

Одним из наиболее компактных способов нахождения угла между плоскостями является нахождение угла между нормалями к этим плоскостям.

Рассмотрим задачу реального варианта ЕГЭ.

В прямой четырехугольной призме стороны основания равны 3, боковые ребра 4. Точка М делит ребро АА₁ в отношении 1:3, считая от точки А. Найти угол между плоскостями АВС и ВМД₁

Введем трехмерную декартову систему координат и поместим в неё призму. Пусть координаты вершин Д(0;0;0), А(3;0;0), В(3;3;0)

Нормаль к плоскости АВС - вектор п₁(0;0;1)

Для нахождения нормали к плоскости МВД₁ часто составляют уравнение этой плоскости Ах+Ву+Сz+Д=0 и тогда нормаль п₂(А;В;С)

Но, составление уравнения плоскости- процесс трудоемкий, с дробями, что вызывает определенные трудности

Рассмотрим иной путь нахождения нормали. По определению нормали п₂должен быть перпендикулярен двум пересекающимся прямым в плоскости МД₁В. Такими являются два любых вектора, соединяющие точки МВД₁.

Обозначим п₂(х;у;z).Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение =0

П₂* МВ

П₂*МД₁

Рассмотрим 3 точки: В(3;3;0), М(3;0;1), Д1(0;0;4). Тогда МВ(0;3;-1), МД1(-3;0;3). Эти векторы не параллельны.

_

П₂*МВ=0х+3у-1z=0

П₂*МД₁=-3х+0у+3z=0

Получаем систему 3у-ц=0

-3х+3z=0

Система двух уравнений с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений и называется неопределенной. Найдем какое-нибудь частное решение этой системы.

Выберем у=1, тогда х=3, z=3,

Значит, п₂(3;1;3). Ранее выбрали п₁(0;0;1).

Тогда cosb== =

Ответ: arccos

Задачи на проценты, смеси и сплавы

«Метод стаканчиков»

Задача1. В сосуд, содержащий 5л 12% раствора добавили 7л воды. Найти концентрацию получившегося раствора.

12л

X%=0,01X

0,01X*12

7л

0%

0

5л

12%=0,12

0,12*5

+ =

Последняя строка- это уравнение задачи. Решив его, получаем Х=5

Ответ. 5

2.Смешали некоторое количество 15% раствора с таким же количеством 19% раствора. Найти концентрацию получившегося раствора.

В условии нет количества раствора. Возьмем для простоты по 100г.

100г 100г 200г

15%=0,15 19%=0,19 Х%=0,01Х

0,15*100 + 0,19*100 = 0,01Х*200

Последняя строка- уравнение задачи. Решив его, получаем Х=17

Ответ. 17

3. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40%. Масса второго сплава на 3кг больше первого. Из этих сплавов получили третий, содержащий 30% меди. Найти массу третьего сплава.

Хкг( Х+3)кг (2Х+3)кг

10%=0,1 40%=0,4 30%=0,3

0,1Х + 0,4(х+3) = 0,3(2х+3)

Последняя строка- уравнение задачи. Решив его, получаем Х=3

Ответ. 9кг

Решим эту же задачу другим методом

«Метод квадратиков» (или крестиков)

10 10

10/20=1/2 1часть-первого сплава

30 2части-второго сплава

40 20

2ч-1ч=3кг

1ч=3кг

Ответ. 9кг

Задача. Первый сплав, содержащий 10% никеля, соединили со вторым сплавом, содержащим 30% никеля. Из них получили 200кг 25% сплава. На сколько кг масса первого сплава меньше массы второго сплава?

10 5

25 5/15=1/3 1часть- первого сплава

200кг 3части- второго сплава

30 15

1часть=200:4=50кг

Ответ. 100кг

Определенные трудности вызывают задачи с удаленной при сушке жидкостью.

Задача. Свежие грибы содержат 90% воды, сухие 12%. Сколько сухих грибов получится из 22кг свежих?

В свежих грибах- 10% содержится сухого вещества.

0,1*22=2,2кг сухого вещества в свежих грибах.

Это же сухое вещество содержится и в сухих грибах.

2,2кг ---88%

Х% ---100%

Отсюда Х=2,5

Ответ.2,5кг

Часто бывают задачи на повышение и понижение цен без первоначальной стоимости. В этом случае разумно взять за первоначальную цену 100р.

Задача. Цену повысили на 20%, затем понизили на 20%. Как изменилась цена?

100р ---100%, 1р---1%

120р – 20%от 120р= 120р -24р =96р (96%)

Ответ. Цена понизилась на 4%.

Некоторые «ПОДСКАЗКИ» при решении задач

1. Если конус вписан в цилиндр так, что основания и высоты совпадают, то объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса.

1. Если шар вписан в цилиндр, то объем цилиндра в 1,5 раза больше объема шара.

1. Если линейные размеры тела увеличиваются (уменьшаются) в К раз, то площадь изменяется в К²

1. Если линейные размеры изменяются в К раз, то объем изменяется в К³