Радианная мера угла

1. Число:

2. Тема урока: Радианная мера угла

3. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

4. Цель урока: познакомить учащихся с понятием радианная мера угла

5. Учебно-воспитательные задачи урока:

Образовательные

• Рассмотреть связь между радианной и градусной мерами угла;

• Закрепить умения выполнять переход от радианной меры угла к градусной мере и наоборот.

• Развивающие

• Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале

• Формирований умений пользоваться алгоритмом перевода радианной меры угла к градусной мере и наоборот

• Воспитательные

• воспитания интереса к предмету

• воспитание ответственного отношения к своему образованию.

1. Средства обучения: индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. М.: Просвещение, 2014.

2. План урока

8. Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверка готовности класса к уроку.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Объяснение нового материала.

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним некоторые понятия из курса геометрии.

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Градусом называют величину центрального угла, которому соответствует     часть окружности. 

Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.

Углы можно измерять только в градусах? Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одну единицу измерения углов.

Давайте изобразим окружность с центром в точке    и радиусом  . Затем проведём вертикальную прямую, которая касается окружности в точке   . Эту прямую мы будем считать числовой осью с началом отсчёта в точке  . Положительным направлением на прямой будем считать направление вверх. За единичный отрезок на числовой оси возьмём радиус окружности.

Отметим на прямой несколько точек:    и  ,   и  ,   и  ,   и  ,   и  .

Т еперь представим нашу прямую в виде нерастяжимой нити, которая закреплена на окружности в точке   . Будем наматывать нить на окружность. При этом точки на числовой прямой с координатами   ,  ,  ,   перейдут соответственно в точки окружности  ,  ,  ,  . При этом длина дуги   равна  , длина дуги   равна  , длина дуги   равна  , длина дуги   равна  .

Получается, что каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Т ак, точке прямой с координатой   ставится в соответствие точка  . А значит, угол   можем считать единичным? Да, и его мерой мы будем измерять другие углы. Например, угол   следует считать равным  , а угол   равным  . Такой способ измерения углов считается измерением в радианной мере.

Единичный угол   называют углом в один радиан. Записывают так:   рад.

И напомним, что длина дуги    равна радиусу нашей окружности.

С ейчас давайте рассмотрим окружность радиуса  . И отметим на ней дугу   , равную длине радиуса окружности, и угол  .

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Обозначается 1рад.

Давайте найдём градусную меру угла в один радиан. Мы знаем из курса геометрии, что дуге длиной  , то есть полуокружности, соответствует центральный угол, равный  . Следовательно, дуге окружности длиной   соответствует угол в   раз меньший.

Выше мы назвали такой угол углом в один радиан, а значит, можем записать, что  рад  .  , тогда  рад  .

Если угол содержит   рад, то

  рад  (1) -формула перехода от радианной меры к градусной.

Пример: найдём градусную меру угла, равного   рад.

Воспользуемся формулой перехода от радианной меры к градусной. Подставим   вместо  :  . Получим  .

Можно перейти от градусной меры к радианной: так как угол в   равен   рад, то   рад. Тогда

   рад (2) - формула перехода от градусной меры к радианной.

Пример: найдём радианную меру угла, равного  .

Воспользуемся формулой перехода от градусной меры к радианной. Подставим   вместо  :  . Получим  .

При обозначении меры угла в радианах слово «радиан» обычно не пишут:  .

Обозначение градуса в записи меры угла пропускать нельзя.

В следующей таблице представлены углы в градусной и радианной мере, с которыми мы будем встречаться чаще всего.

Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так, выше мы выяснили, что угол в   рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу  , а значит, угол в   рад стягивает дугу длиной:  (3).

Если  , то эта формула принимает совсем простой вид:  , то есть длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой.

Сейчас, прежде чем приступить к выполнению заданий, мы докажем, что площадь кругового сектора радиуса  , образованного углом в   рад, равна   (4) , где  .

Докажем это. Известно, что площадь круга вычисляется по формуле:  Площадь полукруга, то есть кругового сектора в   рад:  . Тогда площадь сектора в   рад в   раз меньше, то есть  . Следовательно, площадь сектора в   рад равна  .

И немного истории: Впервые радиан как единица измерения был использован английским математиком Роджером Котсом в 1713 году. Он считал, что радиан является наиболее естественной единицей измерения углов. Термин «радиан» впервые появился в печати в 1873 году в экзаменационных билетах Университета Квинса в Белфасте, составленных британским инженером и физиком Джеймсом Томсоном.

В 1960 году XI Генеральной конференцией по мерам и весам радиан был принят в качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ).

IV. Закрепление материала

Пример 1. Найти градусную меру угла, равного   рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим  . Ответ:  .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60 .

Решение:    рад

 рад Ответ:   рад,   рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера  .

Решение: Используя формулу (3), получим: 

Ответ:  .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла   .

Решение: По формуле (4) вычисляем 

Ответ: 45   м²

Физкультминутка.

Дополнительные задания:

1. Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  .

Решение.

2. Найдите радианную меру угла, выраженного в градусах:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

Решение.

3. Чему равен радиус окружности, если дуге длиной   см соответствует центральный угол в   рад?

Решение.

4. Дуге кругового сектора соответствует угол, равный   рад. Чему равна площадь сектора, если радиус круга равен   см?

Решение.

V. Итоги урока. Рефлексия

Домашнее задание. П.21 . №№ 407,408, 411.