Методическое пособие по изучению
темы «Кодирование числовой информации»
«Информатика»
Оглавление
-
Аннотация ………………………………………………………….. 3
-
Введение ……………………………………………………………. 4
-
Содержание …………………………………………………………..
- Теоретическая часть.....………………………………………. 5
- Представление информации в ЭВМ………………………… 5
- Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ…… 6
- Перевод чисел из одной системы счисления в другую……. 7
- Практические задания................................................................ 22
- Карточки для устных ответов ....................................................24
- Творческое задание …………………………………………... 25
- Эталоны ответов......................................................................... 26
4. Используемые источники …………………………………………… 28
Теоретическая часть
-
Представление информации в ЭВМ
Наиболее удобным средством представления информации, с точки зрения автоматизации процессов ее обработки, является язык чисел. Любой язык чисел определяется системой счисления.
Система счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. Различают непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе (например, римская система счисления). Тем самым исключается всякая возможность автоматизации распознавания чисел и, как следствие, обработки информации. Этого недостатка лишена позиционная система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.
Позиционные системы счисления характеризуются:
-
основанием Р системы счисления – количеством (Р) различных символов, используемых для изображения чисел. Значения этих символов лежат в пределах от 0 до Р-1;
-
разрядом – позицией, занимаемой отдельным символом в изображении числа. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0;
-
весом разряда – количественным значением одной единицы разряда.
Любое число C в позиционной системе счисления с основанием Р может быть представлено в виде полинома:
C= Cm Pm +Cm-1 Pm-1 +…+C1 P1 +C0 P0 +C-1 P-1 + C-2 P-2 +…+C-s P-s ,
целая часть числа дробная часть числа
или где в качестве Ci могут стоять любые из Р цифр алфавита, а нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд)
Численно вес разряда определяется через основание Р системы счисления и номер i разряда: Рi. Таким образом, максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах Nmax = Pm -1.
Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части Nmin = P-s. Тогда, имея в целой части числа m, а в дробной s разрядов, можно представить Pm+s чисел от 0 до Pm+s-1.
Поскольку в технике известно много физических приборов и сред с двумя устойчивыми состояниями, в качестве алфавита языка ЭВМ приняты символы 0 и 1, названные двоичными цифрами. Последовательности нулей и единиц конечной длины образуют двоичные числа, которые, в свою очередь, образуют позиционную двоичную систему счисления.
-
Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ.
В вычислительной технике применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и др. Для обозначения используемой системы счисления числа заключают в скобки и индексом указывают основание системы счисления: 15(10), 1011(2) ,735(8) , 1EA9F(16). Иногда скобки опускают и оставляют только индекс: 1510, 10112 ,7358 , 1EA9F16. Есть еще один способ обозначения системы счисления: при помощи латинских букв добавляемых после числа. Например, 15 D; 1011 В; 735 Q; 1EA9F H.
Двоичная система счисления. Основание Р=2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8, 16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.
Двоичная система счисления имеет ряд преимуществ перед другими системами:
-
для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
-
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
-
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
-
двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Таблица 1
десятичные | двоичные | восьмеричные | шестнадцатеричные |
0 | 0000 | 0 | 0 |
1 | 0001 | 1 | 1 |
2 | 0010 | 2 | 2 |
3 | 0011 | 3 | 3 |
4 | 0100 | 4 | 4 |
5 | 0101 | 5 | 5 |
6 | 0110 | 6 | 6 |
7 | 0111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
16 | 10000 | 20 | 10 |
17 | 10001 | 21 | 11 |
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов — команд, данных, адресов и операндов. Алфавит восьмеричной системы счисления включает цифры от 0 до 7. Алфавит шестнадцатеричной системы счисления включает цифры от 0 до 9, для изображения цифр, больших 9, применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. 1. Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.
Примеры.
-
Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так:
1001 0111 0000 00112.
-
Десятичное число 6251 в двоично-десятичной системе выглядит так:
-
0 0101 00012.
-
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
(
1)
При переводе удобно пользоваться таблицами степеней:
Степени числа 2
n (степень) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Степени числа 8
n (степень) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 8 | 64 | 512 | 4096 | 32768 | 262144 |
Степени числа 16
n (степень) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 16 | 256 | 4096 | 65536 | 1048576 | 16777216 |
Пример 1. Перевести число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС.
Решение:
1011101.0012 =1·26+0·25+1·24+1·23+1·22 +0·21+1·20+0·2-1+0·2-2+1·2-3 =64+16+8+4+1+1/8=93.12510
Пример 2. Перевести число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС.
Решение:
Пример 3. Перевести число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС.
Решение:
Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C- на 12, F - на 15.
Пример 4:
1) 10000012 = 1 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 64 + 1 = 6510
Замечание. Если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.
2) 1000011111,01012 = 1 × 29 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2–2 + 1 × 2–4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510
3) 1216,048= 1 × 83 + 2 × 82 + 1 × 81 + 6 × 80 + 4 × 8–2 = 512 + 128 + 8 + 6 + 0,0625 = =654,062510
4) 29A,516 = 2 × 162 + 9 × 161 + 10 × 160 + 5 × 16–1 = 512 + 144 + 10 + 0,3125 =656,312510
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Алгоритм перевода из десятичной системы в двоичную
-
Выполнить деление исходного числа на 2. Если результат деления больше или равен 2, продолжать делить его на 2 до тех пор, пока результат деления не станет равен 1.
-
Выписать результат последнего деления и все остатки от деления в обратном порядке в одну строку.
Пример 4. Перевести число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
159 | 2 | | | | | | |
158 | 79 | 2 | | | | | |
1 | 78 | 39 | 2 | | | | |
| 1 | 38 | 19 | 2 | | | |
| | 1 | 18 | 9 | 2 | | |
| | | 1 | 8 | 4 | 2 | |
| | | | 1 | 4 | 2 | 2 |
| | | | | 0 | 2 | 1 |
| | | | | | 0 | |
Ответ: 15910=100111112.
Алгоритм перевода чисел из десятичной системы в восьмеричную
-
Разделить исходное число на 8. Найти максимальное частное и убрать дробную часть от него. Например, исходное число 20 : 8 = 2,5. Значит, в частное мы записываем число 2.
-
Умножить полученное частное на 8. Записать его под исходным числом.
-
Найти остаток между этими числами и выделить его – это кусочек переведённого в восьмеричную систему числа.
-
Затем разделить в столбик полученное частное на 8, записать ответ и проделать шаги 2 и 3.
-
Производить деление до тех пор, пока делимое не станет меньше 8. Выделить это делимое тоже.
-
Выписать все выделенные числа справа налево (т.е. последнее делимое будет на первом месте, затем идёт остаток, найденный на последнем шаге, затем остаток, найденный на предпоследнем шаге и т.д.). Полученное при такой записи число и будет искомым восьмеричным.
Пример 5. Перевести число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
615 | 8 | | |
608 | 76 | 8 | |
7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 |
| | 1 | |
Ответ: 61510=11478.
Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
19673 | 16 | | |
19664 | 1229 | 16 | |
9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 |
| | 12 | |
Как видно из рисунка последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.
Ответ: 1967310=4CD9.
Примеры:
-
4687710 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
46877 / 16 = 2929 - остаток 13 = D
2929 / 16 = 183 - остаток 1
183 / 16 = 11 - остаток 7
11 = B
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число B71D16
Таким образом 4687710 = B71D16
2) 204710 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
2047 / 16 = 127 - остаток 15 - F
127 / 16 = 7 - остаток 15 - F
7
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 7FF16
Таким образом 204710 = 7FF16
3) 76710 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
767 / 16 = 47 - остаток 15 = F
47 / 16 = 2 - остаток 15 = F
2
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 2FF16
Таким образом 76710 = 2FF16
4) 48510 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
485 / 16 = 30 - остаток 5
30 / 16 = 1 - остаток 14 = E
1
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 1E516
Таким образом 48510 = 1E516
5)18010 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
180 / 16 = 11 - остаток 4
11 = b
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число b416
Таким образом 18010 = b416
6) 12710 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
127 / 16 = 7 - остаток 15 = F
7
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 7F16
Таким образом 12710 = 7F16
7) 8710 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
87 / 16 = 5 - остаток 7
5
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 5716
Таким образом 8710 = 5716
8) 7010 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
70 / 16 = 4 - остаток 6
4
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 4616
Таким образом 7010 = 4616
9) 3210 переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
32 / 16 = 2 - остаток 0
2
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 2016
Таким образом 3210 = 2016
Результат: 62210= 26E16
Перевод десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления
Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в любую СС
Для того, чтобы выполнить перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную необходимо последовательно умножать правильную дробь и получаемые дробные части произведений на основание системы q до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.
Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример 1: Переведем правильную десятичную дробь 0,875 в двоичную систему
счисления
Процесс умножения закончен, т.к. получена нулевая дробная часть. Последовательность целых частей, выписанных в порядке получения, является дробной частью числа в двоичной системе счисления. Целая часть двоичной дроби равна нулю. Итак, 0,87510=0,1112.
Пример 2: Перевести десятичное число 0,25 в двоичную систему счисления
0,2510=0,012
0,25 · 2 = 0,5;
0,5· 2 = 1,0
Пример 3: Перевести десятичное число 0,53 в двоичную систему счисления с точностью до шестого знака после запятой.
0,5310 = 0,1000012
0,53 · 2 = 1,06;
0,06 · 2 = 0,12
0,12 · 2 = 0,24
0,24 · 2 = 0,48
0,48 · 2 = 0,96
0,96 · 2 = 1,92
Пример 4:
-
0,3510 = 0,010112
-
0,562510=0,10012
-
0,84710=0,11012
Пример 5: Перевести десятичное число 0,13 в восьмеричную систему счисления с точностью до шестого знака после запятой.
0,1310 =0,1024368
0,13 · 8 = 1,04
0,04 · 8 = 0,32
0,32 · 8 = 2,56
0,56 · 8 = 4,48
0,48 · 8 = 3,84
0,84 · 8 = 6,72
Пример 6: Перевести десятичное число 0,96 в восьмеричную систему счисления с точностью до пятого знака после запятой.
0,9610 = 0,753418
0,96 · 8 = 7,68
0,68 · 8 = 5,44
0,44 · 8 = 3,52
0,52 · 8 = 4,16
0,16 · 8 = 1,28
Пример 7:
-
0,3510 = 0,2638
-
0,6562510=0,528
Пример 8: Перевести десятичное число 0,891 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до пятого знака после запятой.
0,89110 = 0,Е418916
0,891 · 16 = 14,256
0,256 · 16 = 4,096
0,096 · 16 = 1,536
0,536 · 16 = 8,576
0,576 · 16 = 9,216
Пример 9: Перевести десятичное число 0,398 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до четвёртого знака после запятой.
0,39810 = 0,65Е3
0,398 · 16 = 6,368
0,368 · 16 = 5,888
0,888 · 16 = 14,208
0,208 · 16 = 3,328
Алгоритм перевода смешанных десятичных дробей в любую СС
Перевод смешанных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Пример 1: Перевести десятичное число 13,25 в двоичную систему счисления.
13,2510 = 1101,012
13 | 2 | | |
12 | 6 | 2 | |
1 | 6 | 3 | 2 |
| 0 | 2 | 1 |
| | 1 | |
0,25 · 2 = 0,5;
0,5· 2 = 1,0
Пример 2: Перевести десятичное число 42,33 в восьмеричную систему счисления с точностью до двух знаков после запятой.
42,3310 = 52,258
42 | 8 |
40 | 5 |
2 | |
| |
| |
0,33 · 8 =
2,64
0,64 · 8 = 5,12
Пример 3: Перевести десятичное число 425,77 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до трёх знаков после запятой.
425,7710 = 1А9,C5116
425 | 16 | |
32 | 26 | 16 |
105 | 16 | 1 |
96 | 10 | |
9 | | |
| | |
0,77 · 16 =
12,32
0,32 · 16 = 5,12
0,12 · 16 = 1,92
Пример 4: Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?
Соединим целую и дробную части:
Количество единиц равно 4.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную
10100100010111011002= ?8 Для начала нам необходимо разбить это число на триады – группы из трёх цифр.
У систем счислений имеются основания. И у двоичной системы основание – 2. Нам необходимо перевести двоичное число в восьмеричную систему с основанием 8. Математически это можно записать так: 2i=8, i = 3, то есть, для записи одного восьмеричного числа в двоичной системе необходимо 3 бита или3 двоичные цифры. Поэтому мы и будем разбивать двоичное число на триады. Однако надо запомнить, что делать это надо начиная с конца.
Внимание: если старшая триада не заполнена, до конца, перед ней необходимо дописать столько нулей, чтобы получилась полноценная триада.
Теперь всё, что нам остаётся – это перевести каждую из этих триад из двоичной системы счисления в восьмеричную. Это можно сделать самостоятельно:
Затем, полученные результаты по каждой отдельной триаде надо выписать, начиная с самой первой. Записанное число и будет нашим конечным результатом в восьмеричной системой счисления.
Однако можно сильно облегчить себе задачу, не высчитывая все триады числа, а просто сверяя каждую из них по таблице соответствия двоичных чисел восьмеричным, например, по такой:
Двоичная СС | Восьмеричная СС |
000 | 0 |
001 | 1 |
010 | 2 |
011 | 3 |
100 | 4 |
101 | 5 |
110 | 6 |
111 | 7 |
Теперь можно просто смотреть на триаду, сверять её с таблицей и записывать число, соответствующее ей в восьмеричной системе.
Пример 1: Число 1011000010001100102 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
101 | 100 | 001 | 000 | 110 | 010 |
5 | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 |
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628.
Замечание: Если число является дробным, то разбивка выполняется вправо и влево от разделителя целой и дробной части. Неполные крайние триады дописываются нулями.
Выполняется перевод отдельно для каждой триады, получившиеся символы записываются последовательно друг за другом.
Пример 1. Число 0,101100012 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
0, | 101 | 100 | 010 |
0, | 5 | 4 | 2 |
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,5428.
Пример 2:
Перевести двоичное число 10111001,011012 в восьмеричную систему счисления.
0 1 1 1 0 0 1 , 0 1 1 0 12 = 010 111 001 , 011 0102 = 271,328
Пример 3: Перевести двоичное число 1011000011,10012 в восьмеричную систему счисления.
1011000011,10012 = 001 011 000 011 , 100 1002 = 1303,448
Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.
Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. 16 = 2i . Так как 16 = 24, то i = 4 бита. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации. Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия тетрад и шестнадцатеричных цифр.
Таблицы для перевода:
Двоичная СС | Шестнадцатеричная СС | 0000 | 0 | 0001 | 1 | 0010 | 2 | 0011 | 3 | 0100 | 4 | 0101 | 5 | 0110 | 6 | 0111 | 7 | 1000 | 8 | 1001 | 9 | 1010 | A | 1011 | B | 1100 | C | 1101 | D | 1110 | E | 1111 | F | |
Пример 1. Число 10000000001111100001112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на тетрады (4 цифры) и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
0010 | 0000 | 0000 | 1111 | 1000 | 0111 |
2 | 0 | 0 | F | 8 | 7 |
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F8716.
Пример 2. Число 0,1000000000112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
0, | 1000 | 0000 | 0011 |
0, | 8 | 0 | 3 |
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,80316
Пример 3: Перевести двоичное число 111101,011012 в шестнадцатеричную систему счисления.
111101,011012 = 0011 1101 , 0110 10002 = 3D,6816
Пример 4: Перевести двоичное число 1010000,011102 в шестнадцатеричную систему счисления.
1010000,011102 = 0101 0000 , 0111 00002 = 50,716
Алгоритм перевода смешанных чисел.
Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:
1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов;
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n
Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему счисления
Для перевода числа из восьмеричной в двоичную систему счисления достаточно перевести каждый символ отдельно, а затем записать символы последовательно друг за другом, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному восьмеричному символу, должно состоять из трёх разрядов – триад (т.к. 8 = 23). Пустые позиции в начале числа заполняются нулями.
Внимание: Если в старших битах (то есть в самом начале двоичного числа) имеются нули, необходимо убрать их до первой единицы.
Пример 1: Перевести восьмеричное число 615,278 в двоичную систему счисления:
68 = 1102
18 = 0012
58 = 1012
28 = 0102
78 = 1112
615,278 = 110001101,0101112
Пример 2: Перевести восьмеричное число 173,548 в двоичную систему счисления
18 = 0012
78 = 1112
38 = 0112
58 = 1012
48 = 1002
173,548 = 1111011,1011002
Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления.
Для перевода числа из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления достаточно перевести каждый символ отдельно, а затем записать символы последовательно друг за другом, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному шестнадцатеричному символу, должно состоять из четырёх разрядов – тетрад (т.к. 16 = 24). Пустые позиции в начале числа заполняются нулями.
Пример 1: Перевести шестнадцатеричное число 6F3,A516 в двоичную систему счисления
616 = 01102
F16 = 11112
316 = 00112
A16 = 10102
516 = 01012
6F3,A516 = 11011110011,101001012
Пример 2: Перевести шестнадцатеричное число A39,F416 в двоичную систему счисления
A16 = 10102
316 = 00112
916 = 10012
F16 = 11112
416 = 01002
A39,F416 = 101000111001,111101002
Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.
Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления удобно выполнять через двоичную систему счисления.
Для этого необходимо выполнить следующие действия:
-
Восьмеричное число перевести в двоичное число, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному восьмеричному символу, должно состоять из триад;
-
Полученное двоичное перевести в шестнадцатеричную систему счисления, разбив двоичное число на тетрады.
Пример 1: Перевести восьмеричное число 534,7138 в шестнадцатеричную систему счисления.
534,7138 = 1 0 1 0 1 1 1 0 0 , 1 1 1 0 0 1 0 1 12 =
58 38 48 78 18 38
= 0001 0101 1100 , 1110 0101 10002 = 15С,Е5816
Пример 2: Перевести восьмеричное число 360,2348 в шестнадцатеричную систему счисления.
360,2348 = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 , 0 1 0 0 1 1 1 0 02 =
38 68 08 28 38 48
= 0000 1111 0000 , 0100 1110 00002 == F0,4E16
Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.
Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления удобно выполнять через двоичную систему счисления.
Для этого необходимо выполнить следующие действия:
-
Шестнадцатеричное число перевести в двоичное число, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному шестнадцатеричному символу, должно состоять из тетрад.
-
Полученное двоичное перевести в восьмеричную систему счисления, разбив двоичное число на триады.
Пример 1: Перевести шестнадцатеричное число A2C,316 в восьмеричную систему счисления.
A2C,316 = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 , 0 0 1 12 = 101 000 101 100 , 001 1002 =
A16 216 C16 316
= 5054,148
Пример 2: Перевести шестнадцатеричное число CBF5,E616 в восьмеричную систему счисления.
CBF5,E616 = 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 , 1 1 1 0 0 1 1 02 =
C16 B16 F16 516 E16 616
= 001 100 101 111 110 101, 111 001 1002 = 145765,71416
Практические задания
1) Запишите первые 20 целых чисел в троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
2) Какие целые числа следуют за числами:
а) 12; | е) 18; | п) F16; |
б) 1012; | ж) 78; | м) 1F16; |
в) 1112; | з) 378; | н) FF16; |
г) 11112; | и) 1778; | о) 9AF916; |
д) 1010112; | к) 77778; | п) CDEF16 ? |
3) Какие целые числа предшествуют числам:
а) 102; | е) 108; | л) 1016; |
б) 10102; | ж) 208; | м)2016; |
в) 10002; | з) 1008; | н) 10016; |
г) 100002; | и) 1108; | о) A1016; |
д) 101002; | к) 10008; | п) 100016? |
4) Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой
заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
5) Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:
а) в двоичной системе;
б) в восьмеричной системе;
в) в шестнадцатеричной системе?
6) В какой системе счисления справедливо следующее:
а) 20 + 25 = 100;
б) 22 + 44 = 110?
7) Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
8) Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
а) 10110112; | е) 5178; | л) 1F16; |
б) 101101112; | ж) 10108; | м) ABC16; |
в) 0111000012; | з) 12348; | н) 101016; |
г) 0,10001102; | и) 0,348; | о) 0,А416; |
д) 110100,112; | к) 123,418; | п) 1DE,C816. |
9) Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
а) 12510; б) 22910; в) 8810; г) 37,2510; д) 206,12510.
10) Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
а) 1001111110111,01112; | г) 1011110011100,112; |
б) 1110101011,10111012; | д) 10111,11111011112; |
в) 10111001,1011001112; | е) 1100010101,110012. |
11) Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: а) 2СE16; б) 9F4016; в) ABCDE16; г) 1010,10116;
д) 1ABC,9D16.
12) Выпишите целые числа:
а) от 1011012 до 1100002 в двоичной системе;
б) от 2023 до 10003 в троичной системе;
в) от 148 до 208 в восьмеричной системе;
г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.
13) Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:
Карточки для устных заданий
Карточка №1
Задание №1. Что такое по-вашему система счисления?
Задание №2. Какие системы счисления вы знаете?
Задание №3. В чем отличие арабской системы счисления от римской?
Задание №4. Как вы думаете, а есть другие системы счисления.
Карточка №2
Задание №1. Дайте определение понятиям:
Задание №2. Объясните различие между позиционной и непозиционной системами счисления.
Задание №3. Число 71 в некоторой системе счисления с основание х записывается как 56х. Определите основание системы счисления.
Задание №4. Перечислите алфавит и назовите основание двоичной системы счисления.
Карточка №3
Задание №1. Расскажите алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную.
Задание №2. Расскажите алгоритм перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную.
Задание №3. Расскажите алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную при помощи триад.
Задание №4. Назовите числа которые не могут существовать в системе счисления с основанием 8: 325, 675, 482, 333, 191.
Творческое задание
а) Перевести числа из разных систем счисления в десятичную систему счисления и по полученным результатам на листочке построить график в системе координат. Затем придумать свое изображение и таблицу по нему.
х | у |
10000(2) | 10(16) |
D(16) | 20(8) |
1010(2) | 17(8) |
10(8) | 1111(2) |
110(2) | 11(16) |
5(16) | 10000(2) |
6(16) | 16(8) |
101(2) | 1100(2) |
6(8) | B(16) |
1000(2) | 15(8) |
14(8) | 1011(2) |
1101(2) | 11(8) |
1111(2) | 9(16) |
20(8) | 13(8) |
10010(2) | 1011(2) |
24(8) | D(16) |
13(16) | 1110(2) |
12(16) | F(16) |
10(16) | 20(8) |
17(8) | 10001(2) |
12(8) | 21(8) |
1001(2) | 1111(2) |
х | у |
11(8) | 10000(2) |
12(8) | 15(8) |
110(2) | 10(8) |
6(16) | 111(2) |
1010(2) | 7(8) |
16(8) | А(16) |
10010(2) | 1011(2) |
24(8) | E(16) |
17(16) | 10000(2) |
30(8) | 12(16) |
10001(2) | 21(8) |
13(16) | 10101(2) |
22(8) | 1A(16) |
11(16) | 32(8) |
15(8) | 15(16) |
D(16) | 17(10) |
13(8) | 10011(2) |
1010(2) | 23(8) |
1001(2) | 10010(2) |
11(8) | 10001(2) |
1000(2) | 21(8) |
(16) | 10(16) |
Эталоны ответов
1) троичная: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201; пятеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34.
2) а) 102; б) 1102; в) 10002; г) 100002; д) 1011002; е) 28; ж) 108; з) 408; и) 2008; к) 100008; л) 1016; м) 2016; н) 10016; о) 9AFA16; п) CDF016.
3) а) 12; б) 10012; в) 1112; г) 11112; д) 100112; е) 78; ж) 178; з) 778; и) 1078; к) 7778; л) F16; м) 1F16; н) FF16; о) A0F16; п) FFF16.
4) Четное двоичное число оканчивается цифрой 0, нечетное двоичное — цифрой 1, четное троичное — цифрами 0, 1 или 2.
5) а) 7; б) 511; в) 4091.
6) а) ни в какой; б) в шестеричной.
7) Основание 5.
8) а) 91; б) 183; в) 225; г) 35/64; д) 52,75; е) 335; ж) 520; з) 668; и) 7/16; к) 8333/64; л) 31; м) 2748; н) 4112; о) 41/64; п) 47825/32.
9) а) 11111012; 1758; 7D16; б) 111001012; 3458; E516; в) 10110002; 1308; 5816; г) 100101,012; 45,28; 25,416; д) 11001110,0012; 316,18; CE,216.
10) а) 11767,348; 13F7,716; б) 1653,5648; 3AB,BA16; в) 271,5478; B9,B3816; г) 13634,68; 179C,C16; д) 27,76748; 17,FBC16; е) 1425,628; 315,C816.
11) а) 10110011102; 13168; б) 10011111010000002; 1175008; в) 101010111100110111102; 25363368; г) 1000000010000,0001000000012; 10020,04018; д) 1101010111100,100111012; 15274,4728.
12) а) 1011012, 1011102, 1011112, 1100002; б) 2023, 2103, 2113, 2123, 2203, 2213, 2223, 10003; в) 148, 158, 168, 178, 208; г) 2816, 2916, 2A16, 2B16, 2C16, 2D16, 2E16, 2F16, 3016;
13) а) 4710-1011112-578-4710-578-1011112-2F16-4710-2F16-1011112-4710; б) 7910-10011112-1178-7910-1178-10011112-4F16-7910-4F16-10011112-7910.
Творческое задание
б)
Используемые источники:
-
1. Информатика : учебник / Н.Д. Угринович. — Москва : КноРус, 2018. — 377 с. — Для СПО.
-
Информатика. Практикум : практикум / Н.Д. Угринович. — Москва : КноРус, 2018.
-
Информатика (базовый курс) учебное пособие Р.С. Борисов, А.В. Лобан. — Электрон. текстовые данные. — М.: Российский государственный университет правосудия, 2014.
-
http://ru.wikipedia.org/wiki
-
Алексеев Е.Г., Богатырев С.Д. Информатика. Мультимедийный электронный учебник http://inf.e-alekseev.ru/text/Schisl_perevod.html
23