Методическое пособие по изучению темы «Кодирование числовой информации»

Методическое пособие по изучению

темы «Кодирование числовой информации»

«Информатика»

Оглавление

1. Аннотация ………………………………………………………….. 3

2. Введение ……………………………………………………………. 4

3. Содержание …………………………………………………………..

- Теоретическая часть.....………………………………………. 5

- Представление информации в ЭВМ………………………… 5

- Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ…… 6

- Перевод чисел из одной системы счисления в другую……. 7

- Практические задания................................................................ 22

- Карточки для устных ответов ....................................................24

- Творческое задание …………………………………………... 25

- Эталоны ответов......................................................................... 26

4. Используемые источники …………………………………………… 28

Теоретическая часть

1. Представление информации в ЭВМ

Наиболее удобным средством представления информации, с точки зрения автоматизации процессов ее обработки, является язык чисел. Любой язык чисел определяется системой счисления.

Система счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. Различают непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе (например, римская система счисления). Тем самым исключается всякая возможность автоматизации распознавания чисел и, как следствие, обработки информации. Этого недостатка лишена позиционная система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Позиционные системы счисления характеризуются:

• основанием Р системы счисления – количеством (Р) различных символов, используемых для изображения чисел. Значения этих символов лежат в пределах от 0 до Р-1;

• разрядом – позицией, занимаемой отдельным символом в изображении числа. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0;

• весом разряда – количественным значением одной единицы разряда.

Любое число C в позиционной системе счисления с основанием Р может быть представлено в виде полинома:

C= C_m P^m +C_m-1 P^m-1 +…+C₁ P¹ +C₀ P⁰ +C_-1 P^-1 + C_-2 P^-2 +…+C_-s P^-s ,

целая часть числа дробная часть числа

или где в качестве C_i могут стоять любые из Р цифр алфавита, а нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд)

Численно вес разряда определяется через основание Р системы счисления и номер i разряда: Рⁱ. Таким образом, максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах N_max = P^m -1.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части N_min = P^-s. Тогда, имея в целой части числа m, а в дробной s разрядов, можно представить P^m+s чисел от 0 до P^m+s-1.

Поскольку в технике известно много физических приборов и сред с двумя устойчивыми состояниями, в качестве алфавита языка ЭВМ приняты символы 0 и 1, названные двоичными цифрами. Последовательности нулей и единиц конечной длины образуют двоичные числа, которые, в свою очередь, образуют позиционную двоичную систему счисления.

1. Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ.

В вычислительной технике применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и др. Для обозначения используемой системы счисления числа заключают в скобки и индексом указывают основание системы счисления: 15₍₁₀₎, 1011₍₂₎ ,735₍₈₎ , 1EA9F₍₁₆₎. Иногда скобки опускают и оставляют только индекс: 15₁₀, 1011₂ ,735₈ , 1EA9F_16. Есть еще один способ обозначения системы счисления: при помощи латинских букв добавляемых после числа. Например, 15 D; 1011 В; 735 Q; 1EA9F H.

Двоичная система счисления. Основание Р=2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8, 16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

Двоичная система счисления имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Таблица 1

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов — команд, данных, адресов и операндов. Алфавит восьмеричной системы счисления включает цифры от 0 до 7. Алфавит шестнадцатеричной системы счисления включает цифры от 0 до 9, для изображения цифр, больших 9, применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. 1. Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Примеры.

1. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так:

1001 0111 0000 0011₂.

1. Десятичное число 6251 в двоично-десятичной системе выглядит так:

1. 0 0101 0001₂.

1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

( 1)

При переводе удобно пользоваться таблицами степеней:

Степени числа 2

Степени числа 8

Степени числа 16

Пример 1. Перевести число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС.

Решение:

1011101.001₂ =1·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+1·2³+1·2² +0·2¹+1·2⁰+0·2^-1+0·2^-2+1·2^-3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125₁₀

Пример 2. Перевести число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС.

Решение:

Пример 3. Перевести число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС.

Решение:

Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C- на 12, F - на 15.

Пример 4:

1) 1000001₂ = 1 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 0 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 64 + 1 = 65₁₀

Замечание. Если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

2) 1000011111,0101₂ = 1 × 2⁹ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^–2 + 1 × 2^–4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125₁₀

3) 1216,04₈= 1 × 8³ + 2 × 8² + 1 × 8¹ + 6 × 8⁰ + 4 × 8^–2 = 512 + 128 + 8 + 6 + 0,0625 = =654,0625₁₀

4) 29A,5₁₆ = 2 × 16² + 9 × 16¹ + 10 × 16⁰ + 5 × 16^–1 = 512 + 144 + 10 + 0,3125 =656,3125₁₀

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Алгоритм перевода из десятичной системы в двоичную

1. Выполнить деление исходного числа на 2. Если результат деления больше или равен 2, продолжать делить его на 2 до тех пор, пока результат деления не станет равен 1.

2. Выписать результат последнего деления и все остатки от деления в обратном порядке в одну строку.
   
   Пример 4. Перевести число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

Ответ: 159₁₀=10011111₂.

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы в восьмеричную

1. Разделить исходное число на 8. Найти максимальное частное и убрать дробную часть от него. Например, исходное число 20 : 8 = 2,5. Значит, в частное мы записываем число 2.

2. Умножить полученное частное на 8. Записать его под исходным числом.

3. Найти остаток между этими числами и выделить его – это кусочек переведённого в восьмеричную систему числа.

4. Затем разделить в столбик полученное частное на 8, записать ответ и проделать шаги 2 и 3.

5. Производить деление до тех пор, пока делимое не станет меньше 8. Выделить это делимое тоже.

6. Выписать все выделенные числа справа налево (т.е. последнее делимое будет на первом месте, затем идёт остаток, найденный на последнем шаге, затем остаток, найденный на предпоследнем шаге и т.д.). Полученное при такой записи число и будет искомым восьмеричным.

Пример 5. Перевести число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

Ответ: 615₁₀=1147₈.

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Как видно из рисунка последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.

Ответ: 19673₁₀=4CD9.

Примеры:

1. 46877₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:
   
   46877 / 16 = 2929 - остаток 13 = D
   2929 / 16 = 183 - остаток 1
   183 / 16 = 11 - остаток 7
   11 = B
   Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число B71D₁₆
   Таким образом 46877₁₀ = B71D₁₆

2) 2047₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:

2047 / 16 = 127 - остаток 15 - F
127 / 16 = 7 - остаток 15 - F
7
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 7FF₁₆
Таким образом 2047₁₀ = 7FF₁₆

3) 767₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:

767 / 16 = 47 - остаток 15 = F
47 / 16 = 2 - остаток 15 = F
2
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 2FF₁₆
Таким образом 767₁₀ = 2FF₁₆

4) 485₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:

485 / 16 = 30 - остаток 5
30 / 16 = 1 - остаток 14 = E
1
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 1E5₁₆
Таким образом 485₁₀ = 1E5₁₆

5)180₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:

180 / 16 = 11 - остаток 4
11 = b
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число b4₁₆
Таким образом 180₁₀ = b4₁₆

6) 127₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:

127 / 16 = 7 - остаток 15 = F
7
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 7F₁₆
Таким образом 127₁₀ = 7F₁₆

7) 87₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:

87 / 16 = 5 - остаток 7
5
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 57₁₆
Таким образом 87₁₀ = 57₁₆

8) 70₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:

70 / 16 = 4 - остаток 6
4
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 46₁₆
Таким образом 70₁₀ = 46₁₆

9) 32₁₀ переводим в шестнадцатиричную систему счисления:

32 / 16 = 2 - остаток 0
2
Записав цифры всех остатков в обратном порядке, получим число 20₁₆
Таким образом 32₁₀ = 20₁₆

Результат: 622₁₀= 26E₁₆

Перевод десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в любую СС

Для того, чтобы выполнить перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную необходимо последовательно умножать правильную дробь и получаемые дробные части произведений на основание системы q до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.

Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 1: Переведем правильную десятичную дробь 0,875 в двоичную систему

счисления

Процесс умножения закончен, т.к. получена нулевая дробная часть. Последовательность целых частей, выписанных в порядке получения, является дробной частью числа в двоичной системе счисления. Целая часть двоичной дроби равна нулю. Итак, 0,875₁₀=0,111₂.

Пример 2: Перевести десятичное число 0,25 в двоичную систему счисления

0,25₁₀=0,01₂

0,25 · 2 = 0,5;

0,5· 2 = 1,0

Пример 3: Перевести десятичное число 0,53 в двоичную систему счисления с точностью до шестого знака после запятой.

0,53₁₀ = 0,100001₂

0,53 · 2 = 1,06;

0,06 · 2 = 0,12

0,12 · 2 = 0,24

0,24 · 2 = 0,48

0,48 · 2 = 0,96

0,96 · 2 = 1,92

Пример 4:

1. 0,35₁₀ = 0,01011₂

2. 0,5625₁₀=0,1001₂

3. 0,847₁₀=0,1101₂

Пример 5: Перевести десятичное число 0,13 в восьмеричную систему счисления с точностью до шестого знака после запятой.

0,13₁₀ =0,102436₈

0,13 · 8 = 1,04

0,04 · 8 = 0,32

0,32 · 8 = 2,56

0,56 · 8 = 4,48

0,48 · 8 = 3,84

0,84 · 8 = 6,72

Пример 6: Перевести десятичное число 0,96 в восьмеричную систему счисления с точностью до пятого знака после запятой.

0,96₁₀ = 0,75341₈

0,96 · 8 = 7,68

0,68 · 8 = 5,44

0,44 · 8 = 3,52

0,52 · 8 = 4,16

0,16 · 8 = 1,28

Пример 7:

1. 0,35₁₀ = 0,263₈

2. 0,65625₁₀=0,52₈

Пример 8: Перевести десятичное число 0,891 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до пятого знака после запятой.

0,891₁₀ = 0,Е4189₁₆

0,891 · 16 = 14,256

0,256 · 16 = 4,096

0,096 · 16 = 1,536

0,536 · 16 = 8,576

0,576 · 16 = 9,216

Пример 9: Перевести десятичное число 0,398 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до четвёртого знака после запятой.

0,398₁₀ = 0,65Е3

0,398 · 16 = 6,368

0,368 · 16 = 5,888

0,888 · 16 = 14,208

0,208 · 16 = 3,328

Алгоритм перевода смешанных десятичных дробей в любую СС

 Перевод смешанных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример 1: Перевести десятичное число 13,25 в двоичную систему счисления.

13,25₁₀ = 1101,01₂

0,25 · 2 = 0,5;

0,5· 2 = 1,0

Пример 2: Перевести десятичное число 42,33 в восьмеричную систему счисления с точностью до двух знаков после запятой.

42,33₁₀ = 52,25₈

0,64 · 8 = 5,12

Пример 3: Перевести десятичное число 425,77 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до трёх знаков после запятой.

425,77₁₀ = 1А9,C51₁₆

0,32 · 16 = 5,12

0,12 · 16 = 1,92

Пример 4: Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Соединим целую и дробную части:

Количество единиц равно 4.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную

1010010001011101100₂= ?₈ Для начала нам необходимо разбить это число на триады – группы из трёх цифр.

У систем счислений имеются основания. И у двоичной системы основание – 2. Нам необходимо перевести двоичное число в восьмеричную систему с основанием 8. Математически это можно записать так: 2ⁱ=8, i = 3, то есть, для записи одного восьмеричного числа в двоичной системе необходимо 3 бита или3 двоичные цифры. Поэтому мы и будем разбивать двоичное число на триады. Однако надо запомнить, что делать это надо начиная с конца.

Внимание: если старшая триада не заполнена, до конца, перед ней необходимо дописать столько нулей, чтобы получилась полноценная триада.

Теперь всё, что нам остаётся – это перевести каждую из этих триад из двоичной системы счисления в восьмеричную. Это можно сделать самостоятельно:

Затем, полученные результаты по каждой отдельной триаде надо выписать, начиная с самой первой. Записанное число и будет нашим конечным результатом в восьмеричной системой счисления.

Однако можно сильно облегчить себе задачу, не высчитывая все триады числа, а просто сверяя каждую из них по таблице соответствия двоичных чисел восьмеричным, например, по такой:

Теперь можно просто смотреть на триаду, сверять её с таблицей и записывать число, соответствующее ей в восьмеричной системе.

 Пример 1: Число 101100001000110010₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062₈.

Замечание: Если число является дробным, то разбивка выполняется вправо и влево от разделителя целой и дробной части. Неполные крайние триады дописываются нулями.

Выполняется перевод отдельно для каждой триады, получившиеся символы записываются последовательно друг за другом.

Пример 1. Число 0,10110001₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542₈.

Пример 2:

Перевести двоичное число 10111001,01101₂ в восьмеричную систему счисления.

0 1 1 1 0 0 1 , 0 1 1 0 1₂ = 010 111 001 , 011 010₂ = 271,32₈

Пример 3: Перевести двоичное число 1011000011,1001₂ в восьмеричную систему счисления.

1011000011,1001₂ = 001 011 000 011 , 100 100₂ = 1303,44₈

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. 16 = 2ⁱ . Так как 16 = 2⁴, то i = 4 бита. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации. Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия тетрад и шестнадцатеричных цифр. 

Таблицы для перевода:

Пример 1. Число 1000000000111110000111₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на тетрады (4 цифры) и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

        Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F87₁₆.

Пример 2. Число 0,100000000011₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.      Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

        Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,803₁₆

Пример 3: Перевести двоичное число 111101,01101₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

111101,01101₂ = 0011 1101 , 0110 1000₂ = 3D,68₁₆

Пример 4: Перевести двоичное число 1010000,01110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

1010000,01110₂ = 0101 0000 , 0111 0000₂ = 50,7₁₆

Алгоритм перевода смешанных чисел.

Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов;

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему счисления

Для перевода числа из восьмеричной в двоичную систему счисления достаточно перевести каждый символ отдельно, а затем записать символы последовательно друг за другом, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному восьмеричному символу, должно состоять из трёх разрядов – триад (т.к. 8 = 2³). Пустые позиции в начале числа заполняются нулями.

Внимание: Если в старших битах (то есть в самом начале двоичного числа) имеются нули, необходимо убрать их до первой единицы.

Пример 1: Перевести восьмеричное число 615,27₈ в двоичную систему счисления:

6₈ = 110₂

1₈ = 001₂

5₈ = 101₂

2₈ = 010₂

7₈ = 111₂

615,27₈ = 110001101,010111₂

Пример 2: Перевести восьмеричное число 173,54₈ в двоичную систему счисления

1₈ = 001₂

7₈ = 111₂

3₈ = 011₂

5₈ = 101₂

4₈ = 100₂

173,54₈ = 1111011,101100₂

Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления.

Для перевода числа из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления достаточно перевести каждый символ отдельно, а затем записать символы последовательно друг за другом, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному шестнадцатеричному символу, должно состоять из четырёх разрядов – тетрад (т.к. 16 = 2⁴). Пустые позиции в начале числа заполняются нулями.

Пример 1: Перевести шестнадцатеричное число 6F3,A5₁₆ в двоичную систему счисления

6₁₆ = 0110₂

F₁₆ = 1111₂

3₁₆ = 0011₂

A₁₆ = 1010₂

5₁₆ = 0101₂

6F3,A5₁₆ = 11011110011,10100101₂

Пример 2: Перевести шестнадцатеричное число A39,F4₁₆ в двоичную систему счисления

A₁₆ = 1010₂

3₁₆ = 0011₂

9₁₆ = 1001₂

F₁₆ = 1111₂

4₁₆ = 0100₂

A39,F4₁₆ = 101000111001,11110100₂

Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления удобно выполнять через двоичную систему счисления.

Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Восьмеричное число перевести в двоичное число, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному восьмеричному символу, должно состоять из триад;

2. Полученное двоичное перевести в шестнадцатеричную систему счисления, разбив двоичное число на тетрады.

Пример 1: Перевести восьмеричное число 534,713₈ в шестнадцатеричную систему счисления.

534,713₈ = 1 0 1 0 1 1 1 0 0 , 1 1 1 0 0 1 0 1 1₂ =

5₈ 3₈ 4₈ 7₈ 1₈ 3₈

= 0001 0101 1100 , 1110 0101 1000₂ = 15С,Е58₁₆

Пример 2: Перевести восьмеричное число 360,234₈ в шестнадцатеричную систему счисления.

360,234₈ = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 , 0 1 0 0 1 1 1 0 0₂ =

3₈ 6₈ 0₈ 2₈ 3₈ 4₈

= 0000 1111 0000 , 0100 1110 0000₂ == F0,4E₁₆

Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.

Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления удобно выполнять через двоичную систему счисления.

Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Шестнадцатеричное число перевести в двоичное число, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному шестнадцатеричному символу, должно состоять из тетрад.

2. Полученное двоичное перевести в восьмеричную систему счисления, разбив двоичное число на триады.

Пример 1: Перевести шестнадцатеричное число A2C,3₁₆ в восьмеричную систему счисления.

A2C,3₁₆ = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 , 0 0 1 1₂ = 101 000 101 100 , 001 100₂ =

A₁₆ 2₁₆ C₁₆ 3₁₆

= 5054,14₈

Пример 2: Перевести шестнадцатеричное число CBF5,E6₁₆ в восьмеричную систему счисления.

CBF5,E6₁₆ = 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 , 1 1 1 0 0 1 1 0₂ =

C₁₆ B₁₆ F₁₆ 5₁₆ E₁₆ 6₁₆

= 001 100 101 111 110 101, 111 001 100₂ = 145765,714₁₆

Практические задания

1) Запишите первые 20 целых чисел в троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.

2) Какие целые числа следуют за числами:

3) Какие целые числа предшествуют числам:

4) Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой 

заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?

5) Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

а) в двоичной системе;
б) в восьмеричной системе;
в) в шестнадцатеричной системе?

6) В какой системе счисления справедливо следующее:

а) 20 + 25 = 100;
б) 22 + 44 = 110?

7) Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

8) Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

9) Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 125₁₀; б) 229₁₀; в) 88₁₀; г) 37,25₁₀; д) 206,125₁₀.

10) Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

11) Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: а) 2СE₁₆; б) 9F40₁₆; в) ABCDE₁₆; г) 1010,101₁₆;
д) 1ABC,9D₁₆.

12) Выпишите целые числа: 
а) от 101101₂ до 110000₂ в двоичной системе;
б) от 202₃ до 1000₃ в троичной системе;
в) от 14₈ до 20₈ в восьмеричной системе;
г) от 28₁₆ до 30₁₆ в шестнадцатеричной системе.

13) Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

Карточки для устных заданий

Карточка №1

Задание №1. Что такое по-вашему система счисления?

Задание №2. Какие системы счисления вы знаете?

Задание №3. В чем отличие арабской системы счисления от римской?

Задание №4. Как вы думаете, а есть другие системы счисления.

Карточка №2

Задание №1. Дайте определение понятиям:

• Система счисления

• Алфавит системы счисления

• Основание системы счисления

• Разряд

Задание №2. Объясните различие между позиционной и непозиционной системами счисления.

Задание №3. Число 71 в некоторой системе счисления с основание х записывается как 56_х. Определите основание системы счисления.

Задание №4. Перечислите алфавит и назовите основание двоичной системы счисления.

Карточка №3

Задание №1. Расскажите алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Задание №2. Расскажите алгоритм перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Задание №3. Расскажите алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную при помощи триад.

Задание №4. Назовите числа которые не могут существовать в системе счисления с основанием 8: 325, 675, 482, 333, 191.

Творческое задание

а) Перевести числа из разных систем счисления в десятичную систему счисления и по полученным результатам на листочке построить график в системе координат. Затем придумать свое изображение и таблицу по нему.

1) троичная: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201; пятеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34.

2) а) 10₂; б) 110₂; в) 1000₂; г) 10000₂; д) 101100₂; е) 2₈; ж) 10₈; з) 40₈; и) 200₈; к) 10000₈; л) 10₁₆; м) 20₁₆; н) 100₁₆; о) 9AFA₁₆; п) CDF0₁₆.

3) а) 1₂; б) 1001₂; в) 111₂; г) 1111₂; д) 10011₂; е) 7₈; ж) 17₈; з) 77₈; и) 107₈; к) 777₈; л) F₁₆; м) 1F₁₆; н) FF₁₆; о) A0F₁₆; п) FFF₁₆.

4) Четное двоичное число оканчивается цифрой 0, нечетное двоичное — цифрой 1, четное троичное — цифрами 0, 1 или 2.

5) а) 7; б) 511; в) 4091.

6) а) ни в какой; б) в шестеричной.

7) Основание 5.

8) а) 91; б) 183; в) 225; г) ³⁵/₆₄; д) 52,75; е) 335; ж) 520; з) 668; и) ⁷/₁₆; к) 83³³/₆₄; л) 31; м) 2748; н) 4112; о) ⁴¹/₆₄; п) 478²⁵/₃₂.

9) а) 1111101₂; 175₈; 7D₁₆; б) 11100101₂; 345₈; E5₁₆; в) 1011000₂; 130₈; 58₁₆; г) 100101,01₂; 45,2₈; 25,4₁₆; д) 11001110,001₂; 316,1₈; CE,2₁₆.

10) а) 11767,34₈; 13F7,7₁₆; б) 1653,564₈; 3AB,BA₁₆; в) 271,547₈; B9,B38₁₆; г) 13634,6₈; 179C,C₁₆; д) 27,7674₈; 17,FBC₁₆; е) 1425,62₈; 315,C8₁₆.

11) а) 1011001110₂; 1316₈; б) 1001111101000000₂; 117500₈; в) 10101011110011011110₂; 2536336₈; г) 1000000010000,000100000001₂; 10020,0401₈; д) 1101010111100,10011101₂; 15274,472₈.

12) а) 101101₂, 101110₂, 101111₂, 110000₂; б) 202₃, 210₃, 211₃, 212₃, 220₃, 221₃, 222₃, 1000₃; в) 14₈, 15₈, 16₈, 17₈, 20₈; г) 28₁₆, 29₁₆, 2A₁₆, 2B₁₆, 2C₁₆, 2D₁₆, 2E₁₆, 2F₁₆, 30₁₆;
13) а) 47₁₀-101111₂-57₈-47₁₀-57₈-101111₂-2F₁₆-47₁₀-2F₁₆-101111₂-47₁₀; б) 79₁₀-1001111₂-117₈-79₁₀-117₈-1001111₂-4F₁₆-79₁₀-4F₁₆-1001111₂-79₁₀.

Творческое задание

б)

Используемые источники:

1. 1. Информатика : учебник / Н.Д. Угринович. — Москва : КноРус, 2018. — 377 с. — Для СПО.

2. Информатика. Практикум : практикум / Н.Д. Угринович. — Москва : КноРус, 2018.

3. Информатика (базовый курс) учебное пособие Р.С. Борисов, А.В. Лобан. — Электрон. текстовые данные. — М.: Российский государственный университет правосудия, 2014.

4. http://ru.wikipedia.org/wiki

5. Алексеев Е.Г., Богатырев С.Д. Информатика. Мультимедийный электронный учебник http://inf.e-alekseev.ru/text/Schisl_perevod.html

23