Методика формирования геометрических понятий у учащихся 7-9 классов

Методика формирования геометрических понятий у учащихся 7-9 классов, основанная на использовании практико-ориентированных задач

Используя практико-ориентированные задачи при формировании геометрических понятий, у учащихся возникают ассоциации с конкретными действиями и событиями, они более прочно усваивают информацию, также развивают логическое и ассоциативное мышление.

Как мы уже говорили ранее, практико-ориентированное обучение неразрывно связано с формированием математической грамотности учащихся. Применяя решение таких задач на уроках геометрии можно не только повысить уровень мотивации учащихся при изучении тех или иных понятий, но и научить учащихся самостоятельно применять математический аппарат при решении задач, связанных с окружающей их действительностью.

Для современных целей обучения математике в школе, которые отражены в нормативных документах, было предложено выделить линию практико-ориентированных задач. Она поможет изучать не только методические, но и предметные вопросы всего курса математики и объединяет методы и понятия. Таким образом, методологическая функция данной линии задач очень важна.

Работа с практико-ориентированной задачей осуществляется в 4 этапа.

1 этап. Матемизация – анализ условия.

Матемизация – использование математических методов в какой-нибудь науке, сфере деятельности.

На данном этапе выделяются объекты окружающего мира, которые могут быть описаны средствами школьного курса геометрии; заменяются исходные объекты и отношения математическими эквивалентами, описываются эти объекты и отношения на языке математики.

2 этап. Формализация – построение математической модели условия.

Формализация – отображение результатов мышления в точных понятиях и утверждениях.

На этом этапе, в зависимости от представленных условий, устанавливаются соответствия между содержанием объекта и математической моделью. Оценивается полнота исходных данных для построения математической модели, которая соотносит реальные объекты различной природы с одной математической моделью или описывает реальный объект в нескольких математических моделях.

3 этап. Внутримодельное решение.

На данном этапе выбираются подходящие методы исследования реальных объектов в зависимости от поставленной задачи; составляется математическая модель с учётом требуемой точности описания реальных объектов задачи.

4 этап. Интерпретация результата (истолкование, разъяснение).

На данном этапе происходит анализ использованных математических методов решения с точки зрения их рациональности для исследования реального объекта; интерпретируются результаты исследования математической модели с требуемой погрешностью.

Для того, чтобы показать целесообразность применения практико-ориентированных задач при формировании геометрических понятий у учащихся 79 классов, я разработала систему упражнений при изучении одного из понятий курса геометрии 7 класса. Для этого проанализировала содержание учебного курса геометрии 7 класса.

Основное содержание курса геометрии в 7 классе составляют следующие вопросы:

Глава I. Начальные геометрические сведения.

Простейшие геометрические фигуры: прямая, точка, отрезок, луч, угол. Понятие равенства геометрических фигур. Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков, длина отрезка. Измерение углов, градусная мера угла. Смежные и вертикальные углы, их свойства. Перпендикулярные прямые.

Глава II. Треугольники.

Треугольник. Признаки равенства треугольников. Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Глава III. Параллельные прямые.

Признаки параллельности прямых. Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.

Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Сумма углов треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника. Прямоугольные треугольники, их свойства и признаки равенства. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Построение треугольника по трем элементам.

Исходя из содержания курса геометрии 7 класса, можно выделить тему «Треугольники», как одну из основных. Известно, что треугольник является основным элементов изучения в данном классе, поэтому есть большая необходимость разработки системы практико-ориентированных задач для того, чтобы показать учащимся важность изучения данной темы и применения полученных знаний в реальной жизни.

К наиболее важным этапам формирования геометрических понятий, в которых целесообразно использовать практико-ориентированные задачи относятся этапы мотивации изучения понятия, применения и установление связей понятия с ранее изученными понятиями.

Проиллюстрируем сказанное на примере формирования понятия «Треугольник». Я привела совокупность практико-ориентированных задач, раскрывающих особенности изучения понятия на выделенных этапах, описала методику решения таких задач.

Этап мотивации введения понятия «Треугольник».

Задача 1. Рассмотрите внимательно объекты, изображенные на рисунке 1.

Рисунок 1 Изображение к задаче 1

Ответьте на вопросы:

1. Какой признак объединяет данные изображения, в чём их различие?

2. Как эти изображения можно связать с математикой? Как вы думаете, что сегодня мы будем изучать на занятии? Сформулируйте одним предложением тему занятия так, чтобы в ней были все наши рассуждения и ответы на вопросы.

С помощью данного задания учащиеся анализируют объекты, изображенные на рисунке, выделяют общий признак, присущий всем объектам и самостоятельно формулируют тему урока.

Этап применения понятия «Треугольник».

Данный этап можно начать с решения заданий, которые представлены в изучаемом учебнике. Например, можно предложить такие задания из учебника геометрии Л.С. Атанасяна:

Задача 2. (рисунок 2)

Рисунок 2 Текст задачи 2

Задача 3. (рисунок 3)

Рисунок 3 Текст задачи 3

Далее можно предложить учащимся такое практико-ориентированное задание:

Задача 4. Коля прошёл от дома по тропинке 800 м на север. Затем повернул и прошёл ещё 500 м на запад. Позвонила мама и попросила его срочно вернуться домой. По какой тропинке он должен идти и почему? Начертите кратчайший путь Коли до дома, считая, что 1 км = 10 см в ваших тетрадях.

Продемонстрируем методику решения данной задачи.

Учитель: Что нам известно по условию задачи?

Учащиеся: Нам известно, что Коля вышел из дома, прошел 800 м на север, а затем 500 м на запад.

Учитель: Что нам необходимо выяснить?

Учащиеся: Нам необходимо определить, по какой тропинке Коля должен вернуть домой, чтобы пройти наименьшее расстояние.

Учитель: Как вы думаете, с чего нам нужно начать, чтобы ответить на вопрос задачи?

Учащиеся: Нам нужно начать с чертежа, чтобы наглядно представить путь Коли.

Учитель: Верно, отметьте в ваших тетрадях начальную точку, т.е. дом Коли.

Учащиеся: Отмечают начальную точку в тетрадях.

Учитель: Куда сначала отправился Коля?

Учащиеся: Сначала он отправился на север и прошел 800 м.

Учитель: Отметьте данный путь Коли.

Учащиеся: Строят отрезок, равный 8 см в северном направлении.

Учитель: Куда отправился Коля дальше?

Учащиеся: Дальше он пошел на запад и прошел еще 500 м.

Учитель: Верно, постройте данный путь Коли.

Учащиеся: Строят отрезок, равный 5 см в западном направлении от конца предыдущего отрезка.

Учитель: Что произошло дальше?

Учащиеся: Дальше ему позвонила мама и попросила срочно прийти домой.

Учитель: Как вы думаете, по какой тропинке лучше возвращаться Коле домой?

Учащиеся: Чтобы затратить меньше времени на путь ему необходимо идти по прямой тропинке, которая соединяет точку, в которой он находится и его дом, потому что полученный путь будет меньше.

Учитель: А почему этот путь будет меньше?

Учащиеся: Учитывая такое свойство треугольника, как неравенство его сторон, можно сделать вывод, что сторона треугольника всегда будет меньше суммы двух других сторон.

Учитель: Верно. Что тогда необходимо достроить на чертеже?

Учащиеся: Необходимо провести отрезок, который соединяет точку, в которой находится Коля и его дом.

Учитель: Верно, проведите данный отрезок в ваших тетрадях.

Учащиеся: Соединяют прямой линией конец последнего отрезка и начальную точку.

Учитель: Какая фигура у вас получилась?

Учащиеся: Треугольник.

Учитель: Верно, вы справились с данным заданием. А как вы думаете, можно ли было решить данную задачу другим способом?

Учащиеся: Нет, потому что неравенству сторон треугольника удовлетворяет только тот путь, который мы построили.

Учитель: Молодцы.

Данное задание направлено на применение такого свойства треугольника, как неравенство сторон треугольника, т. е. при решении данного задания они приходят к выводу, что путь Коли по прямой до дома будет меньше, чем сумма путей, которые он уже прошел.

После этапа применения необходимо перейти к этапу установления связей с ранее изученными понятиями. Для этого целесообразно использовать систему заданий на формирование математической грамотности, так как именно эти задания соединяют в себе несколько тем, которые были изучены учащимися.

В качестве системы задач на формирование математической грамотности на этапе установления связей с ранее изученными понятиями при формировании понятия «Треугольник» можно предложить такие задания:

Задача 5. Чтобы вписать лестницу в заданное пространство, необходимо знать её высоту и, исходя из условия оптимальности и безопасности, подобрать параметры ступеней (рисунок 5, рисунок 6).

Рисунок 5 Изображение к задаче 5

Рисунок 6 Характеристики лестницы

Упражнение 5.1. Воспользуйтесь текстом «Лестница», расположенным сверху. Для ответа на вопрос выберите в выпадающих меню нужные варианты ответа.

Лестница считается удобной и безопасной, если выполнены два условия:

Условие 1: 60 ≤ 2v + d ≤ 65 (v и d выражены в см);

Условие 2: 30° ≤ 𝛼 ≤ 45°.

Удовлетворяют ли двум этим условиям лестницы с характеристиками, приведёнными в таблице? Выберите нужные варианты ответа в выпадающих меню (рисунок 7).

Рисунок 7 Поле ответов для упражнения 5.1

Приведем методику решения данного задания.

Учитель: Что нам известно по условию задачи?

Учащиеся: Нам известны условия, при которых лестница будет считаться безопасной.

Учитель: Что нам необходимо выяснить в задаче?

Учащиеся: Нам необходимо выяснить, удовлетворяют ли данным условиям лестницы, характеристики которых приведены в таблице.

Учитель: Что нам необходимо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?

Учащиеся: Нам необходимо характеристики каждой лестницы подставить в условия, и определить будут ли верны эти условия.

Учитель: Какой вывод мы будем делать при подстановке каждой из характеристик в условия?

Учащиеся: Если при подстановке неравенства будут верны, то мы сделаем вывод, что лестница будет считаться безопасной, и наоборот, если хотя бы одно из неравенств или оба будут неверны, то лестница будет считаться небезопасной.

Учитель: Верно, давайте начнем с первой лестницы.

Учащиеся: При подстановке характеристик первой лестницы в условия мы получаем такие неравенства:

Условие 1: 60 ≤ 59 ≤ 65;

Условие 2: 30° ≤ 23° ≤ 45°.

Учитель: Что мы можем сказать про данные неравенства?

Учащиеся: Оба неравенства будут неверные.

Учитель: Какой вывод мы сделаем?

Учащиеся: Что данные характеристики не удовлетворяют условиям, значит первая лестница не будет считаться безопасной.

Учитель: Верно, переходим ко второй лестнице.

Учащиеся: При подстановке характеристик второй лестницы в условия мы получаем такие неравенства:

Условие 1: 60 ≤ 61 ≤ 65;

Условие 2: 30° ≤ 29° ≤ 45°.

Учитель: Что мы скажем про данные неравенства?

Учащиеся: Первое неравенство будет верно, а второе нет.

Учитель: Какой вывод мы сделаем?

Учащиеся: Характеристики второй лестницы не удовлетворяют второму условию, поэтому лестница не будет считаться безопасной.

Учитель: Переходим к третьей лестнице.

Учащиеся: При подстановке характеристик третьей лестницы в условия мы получаем такие неравенства:

Условие 1: 60 ≤ 60 ≤ 65;

Условие 2: 30° ≤ 37° ≤ 45°.

Учитель: Что мы можем сказать про данные неравенства?

Учащиеся: Оба неравенства будут верны.

Учитель: Какой вывод мы можем сделать?

Учащиеся: Характеристики третьей лестницы удовлетворяют обоим условиям, поэтому лестница будет считаться безопасной.

Учитель: И переходим к последней лестнице.

Учащиеся: При подстановке характеристик третьей лестницы в условия мы получаем такие неравенства:

Условие 1: 60 ≤ 60 ≤ 65;

Условие 2: 30° ≤ 45° ≤ 45°.

Учитель: Что мы скажем про данные неравенства?

Учащиеся: Оба неравенства будут верны.

Учитель: Какой вывод тогда можно сделать?

Учащиеся: Характеристики четвертой лестницы удовлетворяют обоим условиям, поэтому лестница будет считаться безопасной.

Учитель: Верно, вы справились с данным заданием.

Упражнение 5.2. В помещении с высотой потолка 280 см надо установить лестницу на второй этаж. Установлено, что длина лестницы не должна превышать 3,5 м. Выбрана высота ступени: 20 см. Предлагается выбрать ширину ступени, равной 24 см. Будет ли в этом случае выполнено условие на ограничение длины лестницы? Запишите свой ответ на вопрос и объясните его.

Я привела методику решения данного задания.

Учитель: Что нам известно по условию задачи?

Учащиеся: Нам известно, что высота потолка равна 280 см, высота ступени равна 20 см, а ширина ступени равна 24 см. Еще известно, что длина лестницы не должна превышать 3,5 м.

Учитель: Что нам необходимо выяснить в данной задаче?

Учащиеся: Нам необходимо выяснить, будет ли выполнено условие на ограничение лестницы при условии, что ширина ступени будет равна 24 см.

Учитель: Как мы сможем ответить на данный вопрос?

Учащиеся: Нам необходимо для начала выяснить, чему будет равна длина лестницы, при условии, что ширина ступени равна 24 см.

Учитель: Верно, а что нужно сделать дальше?

Учащиеся: Дальше нам необходимо сравнить полученное значение со значением 3,5 м.

Учитель: Какой вывод мы сделаем при сравнении этих величин?

Учащиеся: Если полученное значение будет больше, чем 3,5 м, то мы сделаем вывод, что условие на ограничение лестницы будет не выполнено, и наоборот, если полученное значение будет меньше, чем 3,5 м, то мы сделаем вывод, что условие на ограничение лестницы будет выполнено.

Учитель: Верно. Что первым делом нам необходимо найти?

Учащиеся: Первым делом нам необходимо найти количество ступеней нашей лестницы.

Учитель: Как мы можем это сделать?

Учащиеся: 280 : 20 = 14 степеней.

Учитель: Что мы сделаем следующим шагом?

Учащиеся: Далее нам необходимо найти длину лестницы. Получится такое выражение 14 ∙ 24 = 336 см.

Учитель: Что теперь нам необходимо сделать?

Учащиеся: Теперь нам необходимо перевести см в м для того, чтобы сравнить значения.

Учитель: Верно. Что у нас получится?

Учащиеся: 336 см = 3,36 м.

Учитель: Верно. Что осталось нам сделать?

Учащиеся: Нам осталось сравнить данные значения и сделать вывод.

Учитель: Верно. Какой будет ответ на вопрос задачи?

Учащиеся: 3,36 м

Учитель: Верно, вы справились с данным задание.

С помощью данного задания учащиеся учатся интерпретировать и формулировать свои мысли. В упражнении 5.1 учащиеся проверяют, удовлетворяют ли величины заданным значения, а в упражнении 5.2 учащиеся применяют свойство длины отрезка, сумма длин отрезков, равенство отрезков.

Практико-ориентированные задачи можно применять при формировании различных понятий не только в 7 классе, но и в 8-9 классах, так как в данных классах присутствуют важные понятия, значимость которых в реальной жизни, можно показать только с применением практико-ориентированных заданий.

Например, в 8 классе можно предложить систему таких заданий при формировании понятий «Четырехугольник», «Площадь четырехугольника», «Подобие треугольников» а в 9 классе при формировании понятий «Тригонометрические функции угла», «Длина окружности. Площадь круга», «Параллельный перенос».