Методы решения интегральных уравнений

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения интегральных уравнений [1]. Преобразование Лапласа для произвольной (комплекснозначной) функции f (x) действительного переменного  0x x определяется следующим образом:     0 ( ) ( ) ~ f p e f x dx px (1) где - комплексная переменная. i s p Функция f (x) называется оригиналом, а ( ) ~ f p - изображением (образом) функции f (x) . Преобразование Лапласа существует для непрерывных и кусочнонепрерывных функций, удовлетворяющих условию x f x Me 0 ( )   , где 0 иM 0 - некоторые числа. Далее считаем, что в указанной оценке взято 0  наименьшее из возможных чисел 0 , которое называется показателем роста функции f (x) . Для всякого оригинала f (x) функция ( ) ~ f p определена в полуплоскости 0 Re p и является в этой плоскости аналитической функцией. Формулу (1) кратко будем записывать так:  ( )( ) ~ f x или f p f (x), pf ( p) ~ .  По известному изображению ( ) ~ f p оригинал находится с помощью обратного преобразования Лапласа       c i c i px f p e dp i f x ( ) ~ 2 1 ( )  , 1 2 (2) i где путь интегрирования расположен параллельно мнимой оси комплексной плоскости справа от всех особых точек функции ( ) ~ f p , что соответствует 0  c . Интеграл в (2) понимается в смысле главного значения:              c i c i px c i c i px f p e dp f ( p)e dp ~ ( ) lim ~ . В области 0x формула (2) дает 0 .f (x) Формула (2) справедлива для непрерывных функций. Если в точке 0 x0 x , функция f (x) имеет конечный разрыв первого рода, то правая часть формулы (2) в этой точке дает значение  ( 0) ( 0) 2 1 (при f x0  f x0 0x0 первый член в квадратных скобках должен быть опущен). Формулу обращения преобразования Лапласа (2) кратко будем записывать так:  ( ) ~ ( ) 1 f x f p  или  f ( p), xf x ~ ( ) 1 .  Рассмотрим важный случай, когда изображение является рациональной функцией вида: ( ) ( ) ( ) ~ Q p R p ,f p где Q( p) и R( p) - многочлены переменной p , причем степень многочлена Q( p) больше степени многочлена R( p) . Пусть все нули знаменателя простые, т. е. справедливо равенство .      const ( ) ( )( )...( ) p 1 p 2 p n Q p Тогда оригинал можно определить по формуле:  x Q R f x k n k k k   exp ( ) ( ) ( ) 1   . Пусть многочлен Q( p) имеет кратные корни, т. е. sm m s s Q( p) const( p ) ( p ) ...( p )  2  1   1 2 в этом случае оригинал вычисляется по формуле           m k s px s k s p s k p f p e dp d s f x k k k k 1 1 1 ( ) ~ lim ( ) ( 1)! 1 ( ) Сверткой (по Лапласу) двух функций f (x) и g(x) называется выражение    x f x g x f t g x t dt 0 ( ) * ( ) ( ) ( ) Справедлива теорема о свертке: ,g(x)f (x) f (x)* g(x) которая часто используется при решении уравнений Вольтерра с разностным ядром. Вывод: Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:    x f x s g s ds F p G p 0 ( ) ( ) ( ) ( ) то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:     x y x f x K x s y s ds 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Например, дано такое уравнение:     x y x x x s y s ds 0 ( ) sin 2 cos( ) ( ) Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения: ( p) , y(x)   2 2 2 1 1 ( ) 1 2 1 1 ( )         p p p p p p Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:   x p p px px p e e x e p y x res       2 1 1 ( 1) 1 ( ) Литература: 1.Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: УРСС. 2003 - 127с.