Методы решения показательных уравнений

На всех этапах истории, пройденных человеком, надежным его орудием в познании тайн природы была математика.

Галилей

Методы решения показательных уравнений

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Применение показательных уравнений в профессиональной деятельности

Выполнила студентка группы ТВ-12 Матвеенко Светлана

В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания .

Нобелевские лауреаты, получившие премию за исследования в области физики с использованием показательной функции и показательных уравнений

• Пьер Кюри - 1903г.
• Ричардсон Оуэн - 1928г.
• Игорь Тамм - 1958
• Альварес Луис - 1968г.
• Альфвен Ханнес - 1970г.
• Вильсон Роберт Вудро - 1978г.

• рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста;
• рост вклада в Сберегательном банке;
• восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови;
• рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов;
• количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

Закон органического роста выражается формулой:

N = N 0 e kt .

• радиоактивный распад вещества;
• цепные реакции, теорию которых в 20-ых годах описал молодой химик Н.Н.Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессом в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции и решении показательных уравнений.

Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М 0 e –kt , где: М 0 –начальное количество радия, k –некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.

Закон органического роста выражается формулой: у (х)=у 0 е к t

Пусть у (х)- численность населения в определённые годы

• у(1975)=647,8 тыс. человек
• у(1980)=681,1 тыс. человек

По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

Закон органического затухания выражается формулой: у (х)=у 0 е -к t

Дано:

• Численность населения
• 2005 год-321,5 тыс. человек
• 2000 год- 325,4 тыс. человек
• у(2005)=у(2000) . е 5x ;

Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 . 10 14 . Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

Дано:

Численность ВИЧ – инфицированных

2005 год-1,3 тыс. человек

2000 год-0,5 тыс. человек

у(2005)=у(2000).е ;

1,3=0,5 . е 5x ;

Повторяем…

Повторяем…

Повторяем…

Схема работы в группах

2 группа

Метод вынесения за скобки

3 группа

Метод замены переменной

преподаватель

4 группа

Метод логарифмирования

1 группа

Метод приведения к одному основанию

• Щевелева А.
• Трифонова Е.
• Храмченко А.
• Симонова О.

«Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии»

Давид Гильберт об одном из своих учеников

Работа в группах

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому.

Д. Пойа

Решить уравнение

Метод приведения к одному основанию

Свойство степени

Уравнение вида

равносильно уравнению вида

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Решить уравнение

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

20

Решить уравнение

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

21

Решить уравнение

Метод вынесения общего множителя за скобки

Вынесем общий множитель за скобки

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

22

4 х+1 + 4 х = 320

4 х . 4 + 4 х = 320

4 х (4 + 1) = 320

4 х . 5 = 320

4 х = 4 3

х = 3

Ответ: х = 3.

Решить уравнение

4 х+1 + 4 х = 320

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

23

Метод замены переменной

Решить уравнение

Введём новую переменную

Выполним обратную подстановку

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

24

Решить уравнение

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

25

Метод логарифмирования

Решить уравнение

Прологарифмируем обе части уравнения

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

26

Решить уравнение

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

27

Самостоятельная работа

Проверка самостоятельной работы

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

30