Методы решения систем уравнений

Провела учитель математики МБОУ СОШ с. Соседка Иванчукова Н.К.

  1.рассмотреть решение систем уравнений различными методами.

2.формировать умение решать системы уравнений различными методами.

3.развивать умение логически мыслить и рассуждать.

• 1.Что называется решением системы уравнений второй степени?
• 2. Что значит решить систему уравнений второй степени?
• 3.Какие системы уравнений называются равносильными?
• 4. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете ?

• 5.Как решить систему уравнений второй степени графическим способом?
• 6. Как решить систему уравнений второй степени способом подстановки?
• 7. Как решить систему уравнений второй степени способом сложения?

1.Выразить у через х из одного уравнения системы.

2.Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.

3.Решить полученное уравнение относительно х.

4.Подставить каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения поочередно вместо х в выражение у через х , полученное на первом шаге.

5.Записать ответ в виде пар значений (х,у) , которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

x + 3у=5

ху=2

х=5-3у

(5-3у)у=2

3у2-5у+2=0, Д=25-24=1

У 1 =(5+1)/6 =1 у 2 =2/3

4.Если у=1,то х=5-3•1=2

Если у=2/3,то х=5-3•2/3=3

5.(2,1) , (3,2/3) -решение системы уравнений

Ответ: (2,1) , (3, 2/3) .

• 1.Сложить оба уравнения системы
• ( по отдельности составить сумму левых частей , сумму правых частей уравнения и полученные суммы приравнять).
• 2. Найденное значение переменной ( х или у) подставить в любое уравнение системы и найти другое значение переменной.

2х+ху+2=0

4у+3ху+30=0

Умножим первое уравнение на 3.

6х +3ху+6=0

4у+3ху+30=0

Из первого уравнения вычтем второе уравнение

6х-4у-24=0 / на 2

3х-2у-12=0

3х-2у-12=0

2х+ху+2=0

1.у= (3х-12)/2

2.2х+х•(3х-12)/2+2=0

4х +3х 2 -12х+4=0

3х 2 -8х+4=0

Х 1 =2 х 2 =2/3

У 1 =-3 у 2 =-5

Ответ: (2;-3) , (2/3; -5).

Пример .

х/у+у/х =2,5

x 2 -у 2 =3

Введем новую переменную t = x / y

Первое уравнение перепишется в виде

t + 1/ t = 2,5

Решим его относительно t

t 1 =2 t 2 =1/2

Оба этих значения удовлетворяют условию 2 t ≠0 , а потому являются корнями

но t = x / y след-но х/у=2 след-но х=2у либо х/у=1/2 и у=2х

х = 2у у=2х

х 2 -у 2 =3 либо х 2 -у 2 =3

Решение первой системы (2,1), (-2,-1).

Вторая система решений не имеет .

Ответ: (2,1) , (-2, -1)

Введение новых переменных одновременно в 2 х уравнениях.

2/(х-2у) + 3/(2х+у) =2 Замена а=2/(х-3у) , в = 3/(2х+у)

8/(х-3у) -9/(2х+у)=1

а+в =2 а=1, в=1

4а-3в=1

  2/(х-3у)=1 х-3у=2 х=11/7, у=-1/7

3/(2х+у)=1 2х+у=3

Ответ (11/7, -1/7)

Основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому более простому , но равносильному заданному.

Определение: Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными , если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.