Метод решения линейных дифференциальных уравнений

Один из методов решения линейных дифференциальных уравнений

Определение: Дифференциальное уравнение вида , где p(x) и q(x) − непрерывные функции от x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Рассмотрим один из методов решения указанных уравнений (на мой взгляд, самый простой): общее решение ищем в виде где , а

Пример 1: Решить дифференциальное уравнение  

Решение: Запишем данное уравнение в стандартном виде

Получили а .

Общее решение будем искать в виде .

Подставляем в формулы: (константу с берём равную 0).

где с – константа.

Общее решение:

Проверка: , найдём производную:

.

Подставим найденные и в исходное уравнение :

Получили верное равенство, а значит, общее решение найдено правильно.

Пример 2: Найти общее решение дифференциального уравнения 

Решение: В данном уравнении а . Общее решение так же ищем в виде .

Подставляем в формулы: (записываем без константы).

где с – константа.

Общее решение:

Проверка: , найдём производную:

Подставим найденные и в исходное уравнение :

Получили верное равенство, а значит, общее решение найдено правильно.

Пример 3: Решить задачу Коши 

Решение: Поделим обе части уравнения на

Получили стандартное линейное дифференциальное уравнение:

В данном уравнении а .

Общее решение ищем в виде . Подставляем в формулы: (записываем без константы).

, где с – константа.

Общее решение:

Из начального условия , получаем Так как Подставляем с = 0 в общее решение исходного уравнения и находим частное решение задачи Коши:

Проверку при желании делаем сами…