Мнемонические правила запоминания

Проведенный анализ методической литературы [18], позволил выделить мнемонические правила запоминания тригонометрических формул. При изучении темы «Тригонометрия» учащиеся сталкиваются с проблемой запоминания большого количества тригонометрических формул. Твердо знать эти формулы совершенно необходимо для дальнейшего изучения курса алгебры. Как лучше запомнить тригонометрические формулы с наименьшей нагрузкой на механическую память?

1. Знаки тригонометрических функций.

Важно помнить, что

• все тригонометрические функции в I четверти принимают

положительные значения (знак «+»);

• у синуса знаки расположены горизонтально,

• у косинуса – вертикально, а

• у тангенса и котангенса – крест-накрест.

Учащиеся прекрасно запоминают, что у тангенса и котангенса знаки

располагаются крест-накрест, но забывают, у какой функции (синуса или

косинуса), знаки расположены горизонтально, а у какой – вертикально. В

этом случае поможет следующее правило: произносить слова «синус» и

«косинус» нужно нараспев, выделяя ударную гласную и фиксируя при этом,

в каком направлении вытягивается рот. При произнесении слова «синус»

ударная гласная «и» вытягивает рот в направлении «↔», значит, у синуса

знаки расположены горизонтально. Аналогично, при произнесении слова

«косинус», ударная гласная «о» вытягивает рот в направлении «↕», значит, у

косинуса знаки расположены вертикально.

1. Значения тригонометрических функций некоторых углов.

Часто возникает путаница при использовании значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60°. Это происходит из-за существования некоторой симметрии в значениях функций данных углов. Значения тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60° следует запоминать следующим образом.

1. Сначала нужно составить таблицу, в первой строке которой следует

записать по возрастанию 30°, 45° и 60° , а в первом столбце – функции по порядку: sin α, cos α, tg α и ctg α. Далее нужно запомнить всего одну клетку из всей таблицы, а именно, что , и заполнить ее.

1. Затем приписать к единице знак радикала (карандашом). Получили

«корень из одного пополам».

1. Далее в этой же строке заполняем две оставшиеся клетки, в некотором

смысле по возрастанию: «корень из двух пополам» и «корень из трех пополам».

1. Вторую строку таблицы заполняем в обратном порядке. Таким

образом, две строки таблицы полностью заполнены.

5. Учитывая формулу и выполняя соответствующее деление,

заполняем третью строку таблицы; четвертую строку заполняем, как третью,

но в обратном порядке. Получаем таблицу значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60°.

Понимая, как устроена таблица, учащиеся с легкостью запоминают ее.

1. Формулы приведения.

1 способ.

Для запоминания этих формул необходимо знать два коротких правила:

1. Четверть дает знак.

2. Диаметр дает функцию.

Рассмотрим, например, как найти значение выражения cos240^o . Сначала следует выполнить подготовительный момент: представить данное выражение в виде

1) cos240^o = cos(180^o + 60^o), либо в виде

2) cos240^o = cos(270^o −30^o).

Предположим, что мы выбрали первый из представленных видов. Тогда, применяя первое правило, получим, что в III четверти косинус отрицательный (ставим знак «минус»). Далее задаем вопрос: «Меняем или не

меняем функцию?». 180° попадают на горизонтальный диаметр. Помотав

головой вдоль этого диаметра, получаем ответ: «Нет, не меняем». Получим

cos240⁰ = cos(180⁰+ 60⁰) = − cos60⁰ = .

Теперь предположим, что мы выбрали второй из представленных видов. Вопрос со знаком решается аналогично – ставим знак «минус». А задавая вопрос: «Меняем или не меняем функцию?» и помотав головой вдоль соответствующего диаметра, получаем ответ: «Да, меняем», так как 270°

попадают на вертикальный диаметр. Получим

cos240⁰ = cos(270⁰ − 30⁰ ) = − sin30⁰ = .

2 способ.

Мнемоническое правило для запоминания формул приведения.

Когда мы находим значения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, мы используем уже известные табличные значения.

Обратим внимание, что таблица значений тригонометрических функций составлена для углов от 0° до 90°. Это объясняется тем, что значения тригонометрических функций для остальных углов сводятся к значениям тригонометрических функций для острых углов. А формулы, которые позволяют сделать это, называются формулами приведения.

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения. Правда для этого надо хорошо знать основы тригонометрии – единичную окружность и способы работы с ней.

Сначала мы с учениками внимательно просматриваем формулы приведения и замечаем сходство и различия в них.

1. Каждая формула связывает между собой либо синус с

косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.

1. В левой части формулы аргумент представляет собой

сумму или разность одного из «основных координатных углов»: и острого угла α, а в правой части аргумент α.

1. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило.

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?

Ответ: Если в формуле присутствуют углы или − это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?

Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части. Например, sin(+ α).

1) «Меняется функция или нет?» − угол вертикальной оси, киваем головой по вертикали: «Да, меняется». Значит, в правой части будет cos α.

2) «Знак?»

Угол ( + α) попадает в ІV четверть, а sin в ІV четверти имеет знак «минус». Значит, в правой части ставим знак «минус».

Итак, получили формулу, sin( + α) = − cos α.

Ребята всегда с интересом воспринимают это правило и с удовольствием его применяют.

1. Формулы понижения степени.

1−cos2α = 2sin²α ,

1+ cos2α = 2cos²α .

Важно понять структуру этих формул, в частности, такой момент – «степень понижается, а угол становится в два раза больше». Эти формулы очень похожи друг на друга, поэтому для лучшего их запоминания следует применять правило: «Единица минус – дает синус, а единица плюс – дает косину́с».

1. Функция косинус.

Про функцию косинус следует помнить, что она «четная, семейственная и отличная (от других)». Эти эпитеты позволяют запомнить многие тригонометрические формулы: четность/нечетность тригонометрических функций, формулы сложения, формулы преобразования суммы в произведение, а также формулы преобразования произведения в сумму. Действительно, функция косинус – четная, в отличие от других тригонометрических функций.

Некоторую «семейственность», свойственную косинусу, можно проследить на примере формул сложения, формул преобразования суммы в произведение, а также формул преобразования произведения в сумму. И в каждом блоке этих формул можно уловить некую «отличительность», свойственную косинусу.