Многочлены от одной переменной

Тема урока:

Многочлены от одной переменной.

11 класс

Рассмотрим многочлены:

2х 2 – 11х +12

– 14х 5 + 3х 2 – 6х+7

х 6 + 11

Эти многочлены записаны в стандартном виде.

!

Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.

Р(х)= а п х п +а п–1 х п–1 +а п–2 х п–2 +

+… + а 2 х 2 + а 1 х+ а 0

где а 0 , а 1 , а 2 …. а п – некоторые числа, причем а п  0, п 

а п х п – старший член многочлена

а п – коэффициент при старшем

члене

п – степень многочлена

а 0 – свободный член многочлена

Р(х)= а п х п +а п–1 х п–1 +а п–2 х п–2 +

+… + а 2 х 2 + а 1 х+ а 0

Если

а п =1 ,

то многочлен Р (х)- приведенный

Пример: х+3; х 5 +3х 2 -4

а п ≠1 ,

то многочлен Р (х)- неприведенный

Пример: 2х 2 +х; -0,5х 7 +3х 3 -11

Теорема 1:

Два многочлена ( стандартного вида) тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Задача №1

Найти числа а и b, если многочлен х 3 + 6х 2 + ах + b равен кубу двучлена х + 2

Операции над многочленами:

1. Сложение и вычитание.

При сложении (вычитании) двух многочленов разной степени, получится многочлен, степень которого равна большей из имеющихся степеней.

Задача №2

Найдите сумму многочленов

х+3 и -0,5х 5 +3х 2 -4

Операции над многочленами:

1. Сложение и вычитание.

При сложении (вычитании) двух многочленов одной и той же степени, получится многочлен той же или меньшей степени.

Задача №3

Найдите сумму и разность многочленов

2х 3 +3х 2 -х и -2х 3 +3х-4

Операции над многочленами:

2. Произведение.

Если многочлен р(х) имеет старшую степень m, а многочлен s(x) – степень n, то их произведение р(х)∙ s(x) имеет степень m+n.

Задача №4

Найдите произведение многочленов

х+3 и -0,5х 5 +3х 2 -4

Операции над многочленами:

3. Возведение в степень.

Если многочлен р(х) степени m возвести в степень n, то получится многочлен степени mn.

Задача №5

Возведите многочлен

-0,5х 5 +3х 2 -4 в квадрат

Операции над многочленами:

4. Деление многочлена намногочлен.

Если многочлен р(х) делится нацело на ненулевой многочлен s(х), если существует такой многочлен q(х), что выполняется тождество:

p(х) = s(х) · q(х)

р(х) –делимое (или кратное)

s(х) –делитель

q(х) –частное

Способ деления уголком

Разделить многочлен 8х 2 +10х–3 на многочлен 2х+3

2х+3

– 3

8х 2 +10х–3

–

8х 2 +12х

– 1

4х

– 2х

–

– 2х–3

0

Задача №6

Разделить многочлен 6х 3 +7х 2 – 6х +1 на многочлен 3х –1

Задача №7

Разделить многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15 на многочлен х – 3

Задача №8

Разделить многочлен х 4 + 4 на многочлен х 2 + 2х + 2