Многогранники. Призма. геометрия 11 класс

Многогранники

«Правильных многогранников

вызывающе мало, но этот весьма

скромный по численности отряд

сумел пробраться в самые глубины

различных наук»

Л. Кэрролл

работу выполнила

ученица 9 класса «Г»

Долгова Анастасия

2011, Ростов

Многогранник

геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников:

куб тетраэдр октаэдр

додекаэдр икосаэдр

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

• Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями . При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклые(рис.1) и невыпуклые(рис.2). Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Рис.1

Рис.2

Правильные многогранники

Многогранник называется правильным , если все его грани - равные между собой правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число граней.

Известно только 5   выпуклых правильных многогранников.

Правильные выпуклые многогранники следующие: тетраэдр ( 4 грани ); гексаэдр ( 6 граней ); октаэдр ( 8 граней ); додекаэдр ( 12 граней); икосаэдр ( 20 граней ).

Теорема Эйлера

Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство

В - Р + Г = 2

Свойства правильных многогранников

Название многогранника

Правильный тетраэдр

В

4

Правильный октаэдр

Р

(Вершины)

Г

6

(ребра)

6

Правильный икосаэдр

(грани)

В+Г-Р=2

12

4

12

Правильный гексаэдр

30

8

(формула Эйлера)

2

Вид

Правильный додекаэдр

8

Правильный

2

Грани

20

20

12

треугольник

2

Правильный

6

30

Правильный

треугольник

2

12

треугольник

Правильный квадрат

2

Правильный пятиугольник

Призма

Призма-многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников

Свойства:

-основания призмы равны .

-у призмы основания лежат в параллельных -плоскостях.

-у призмы боковые ребра параллельны и равны.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой(рис.1); в противном случае призма называется наклонной(рис.2)

Рис.1

Рис.2

Параллелепипед

Параллелепипед (греч. parallelepípedon, от parállelos — параллельный и epípedon — плоскость), шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны.

Параллелепипеды, как и призмы ,могут быть прямыми и наклонными.

Параллелепипед называется прямым ,если его ребра перпендикулярны основаниям.

В противном случае параллелепипед называется наклонным

В 1

С 1

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

D 1

А1

В

С

А

D

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

B 1

C 1

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

D 1

A 1

O

B

C

D

A

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники .

Прямоугольный параллелепипед , у которого все ребра равны, называется кубом .