Многоугольники. Параллелограмм

Многоугольник.

Выпуклый многоугольник.

Четырехугольник.

Черных М.А., учитель математики МБОУ гимназии №1 г. Челябинска

Многоугольник

С

Многоугольник - фигура,

составленная из отрезков так, что:

В

D

• Смежные отрезки

не лежат на одной прямой

E

2. Несмежные отрезки

не имеют общих точек

А

F

G

ABCD…EF – многоугольник , если составлен из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, несмежные отрезки не имеют общих точек.

ВЕРШИНЫ

•

•

•

•

•

СТОРОНЫ

•

•

Многоугольник

В

D

О

С

А

Фигура АВСD – не многоугольник

Две вершины многоугольника , Є одной стороне, называются соседними .

Например, А и F; B и С, и т.д.

•

Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины называется диагональю многоугольника .

•

•

Например, СF.

•

Многоугольник

С

Точки А, В, С, D, Е, F, G

– вершины многоугольника

В

D

Отрезки

АВ, ВС, СD, DE, EF, FG, GA

– стороны многоугольника

E

АС, AD – диагонали

А

F

G

P = АВ+ВС+СD+DE+EF+FG+GA – периметр

Многоугольник

С

В

Внутренняя область

D

А

Внешняя область

• Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой проходящей через две его соседние вершины.

НЕВЫПУКЛЫЙ

ВЫПУКЛЫЙ

Выпуклый многоугольник

В

А

С

Е

D

Невыпуклый многоугольник

В

А

С

D

F

Е

Сумма углов выпуклого n-угольника

Сумма углов выпуклого n-угольника:

o

(n-2) 180

Число сторон

Треугольников

5

n

4

6

4

2

n-2

3

Сумма углов выпуклого n-угольника

Назовите

многоугольники:_ _________________________________

1, 3, 5, 6, 7, 9, 10.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

4 стороны

С

В

4 вершины

2 диагонали

А

D

Р=АВ+ВС+СD+DA

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна

• № 466,470

09/28/2025

12

09/28/2025

12

Четырехугольники

Параллелограмм

12

12

Параллелограмм – четырехугольник,

у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В

С

А

D

ABCD – параллелограмм.

AB II CD, DC II AD.

12

Свойства параллелограмма

В

С

1

D

А

В параллелограмме противоположные

стороны равны и противоположные

углы равны.

∠ A = ∠C, ∠B = ∠D

ВС = AD, АВ = СD

19

20

Свойства параллелограмма

В

С

2

О

А

D

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

ВО = ОD, АО = ОС

О – точка пересечения диагоналей

20

Свойства параллелограмма

С

В

3

D

А

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 °.

∠ D + ∠C = 180 ° ,

∠ А + ∠D = 180 ° ,

∠ В + ∠C = 180 ° ,

∠ А + ∠B = 180 ° ,

21

№ 472,476

Дз

П.46-48, №469, 467

09/28/2025

22

09/28/2025

22

09/28/2025

22

09/28/2025

22

09/28/2025

22

Признаки параллелограмма

1

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

В

С

Дано:

АВСD – четырехугольник,

АВ = CD, АВ ∥ CD

Доказать:

D

А

АВСD – параллелограмм

22

1

Доказательство

С

В

3

2

Пусть АВ = СD и АВ ∥ СD,

проведем диагональ АС.

Рассмотрим треугольники

∆ АBC и ∆ ACD:

1

4

D

А

∆ АBC = ∆ACD – по двум сторонам и углу между ними

(АС – общая, АВ = СD – по условию, ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ СD и секущей АС.

Поэтому ∠3 = ∠ 4.

Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD.

Таким образом, если в четырехугольнике противоположные

стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD -

параллелограмм.

Признаки параллелограмма

2

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

С

В

Дано:

АВСD – четырехугольник,

АВ = CD, ВС = АD

Доказать:

D

А

АВСD – параллелограмм

29

2

Доказательство

В

С

3

АВСD- четырехугольник,

АВ = CD, ВС = АD.

2

Проведем диагональ АС.

Рассмотрим треугольники

∆ АBC и ∆ ACD:

1

4

D

А

∆ АBC = ∆ACD – по трем сторонам

(АС – общая, АВ = СD, ВС = АD – по условию).

Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС.

Отсюда следует, что АВ ∥ СD.

Так как АВ ∥ СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

3

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

С

В

О

А

D

АВСD – четырехугольник,

ВО = ОD, АО = ОС

Дано:

Доказать:

АВСD – параллелограмм

31

3

Доказательство

В

С

АВСD – четырехугольник,

ВО = ОD, АО = ОС.

2

3

О

Проведем диагонали АС и BD.

Рассмотрим треугольники

∆ АОB и ∆ CОD:

1

4

А

D

∆ АОB = ∆CОD – по первому признаку равенства треугольников

(ВО = ОD, АО = ОС – по условию, ∠ АОB = ∠ CОD – как вертикаль.)

Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD.

Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2.

Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ ∥ CD,

то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

Задача

1

АВСD – четырехугольник,

∠ BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA

Дано:

АВСD – параллелограмм.

Доказать:

Доказательство

С

В

Рассмотрим треугольники ∆ АBC

и ∆ ACD:

1. ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA – по

условию, АС – общая;

следовательно ∆ АBC = ∆ ACD – по

стороне и двум прилежащим углам;

поэтому ВС = AD.

D

А

2.Так как ∠BАC = ∠ACD – накрест лежащие углы при

параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD.

3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD, то по 1-му признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

33

34

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

09/28/2025

34

09/28/2025

34

09/28/2025

34

09/28/2025

34

09/28/2025

34

09/28/2025

34

09/28/2025

34

трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

боковая сторона

боковая сторона

основание

основание

равнобедренная трапеция

прямоугольная трапеция

Докажите, что у равнобедренной трапеции углы при основании равны

Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны

Задача №1

Один из углов равнобедренной трапеции равен 112˚. Найдите остальные углы трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

MN || BC || AD

MN = (BC + AD) : 2

Задача №2

Дано: ABCD – трапеция, EF – средняя линия. BC = 13см, EF = 25см.

Найти: АD

09/28/2025

34

09/28/2025

34

Ответить на вопросы:

• Какая фигура называется параллелограммом?
• Докажите, что в параллелограмме противоположные

стороны и углы равны.

• Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой

пересечения делятся пополам.

• Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Спасибо за внимание!

34

• Дз
• П.46,47
• № 462,463,468

09/28/2025

34