СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Мои исследования делимости чисел

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

 Работа представлена на городскую конференцию исследовательских работ и творческих проектов учащихся образовательных учреждений г Симферополя "Ученик XXI века: пробуем силы - проявляем способности"

Просмотр содержимого документа
«Мои исследования делимости чисел»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

МКУ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА СИМФЕРОПОЛЯ

МБОУ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 13»






Направление: математика и физика









МОИ ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ




Работу выполнила:

Кривозубова Ирина

учащаяся 6-А класса

МБОУ СОШ №13



Научный руководитель:

Рулла Ирина Владимировна,

учитель математики

высшей категории

МБОУ СОШ №13











Симферополь - 2015


СОДЕРЖАНИЕ

Вступление……………………………………………………...

3

Раздел 1. Из истории математики о делимости чисел……….

5

Раздел 2. Нахождение признаков делимости чисел на 11…...

Раздел 3. Определение признаков делимости чисел, основанных на уже известных фактах ….…………………….

7


9

Заключение……………………………………………………..

10

Список литературы……………………………………………..

12






















«…элементы чисел являются

элементами всех вещей

и весь мир в целом является

гармонией и числом»

Пифагор (VI в. до н.э.)

ВСТУПЛЕНИЕ

Теория чисел - наука о целых числах. Целые числа, а также арифметические операции над ними известны с древних времён и являются одной из первых математических фантазий.

Делимость чисел – это отношение, связь между целыми числами. Целое число а делится на целое число b, если существует целое число с, такое, что а = bс. При этом число b считается отличным от нуля. Число а называется делимым, b называется делителем, а число с называется частным. Также говорят: "a кратно b".

Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Узнав, что в математике еще много неизвестного, я захотела провести свое исследование и сделать свое открытие.

Работа посвящена изучению теории делимости чисел как одного из разделов математики. Признаки делимости чисел являются важным элементом теории чисел. Они быстро позволяют определить, делится ли одно число на другое в том случае, если не нужно знать результата деления.

В работе дана историческая справка о теории делимости чисел. Проведено практическое исследование по нахождению признаков делимости чисел на 11. Сделан вывод о том, что если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Актуальность исследования: признаки делимости часто используются при решении математических задач, при нахождении общего знаменателя дробей, а также при решении уравнений в целых числах. Их используют для совершенствования техники быстрого счета.

Цель исследования: установить признаки делимости на 11 для упрощения деления чисел.

Задачи работы:

  • изучить литературу по истории теории делимости чисел;

  • изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

  • самостоятельно вывести признаки делимости на 11 для двузначных, трехзначных чисел;

  • подвести итог каждого этапа;

  • обобщить результаты для чисел с большим количеством знаков.

Гипотеза: исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

В работе используются вид умозаключений - индукция, позволяющий

сделать выводы на основании частных случаев об общих суждениях.









РАЗДЕЛ 1

Из истории математики о делимости чисел

Теория делимости появилась в 399 году до н. э. и принадлежит, скорее всего, Теэтету. Этой теории Евклид посвятил книгу VII и часть книги IX Начал. В ее основе лежит правило Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. Этот алгоритм дает возможность разложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль. Он родился в 1623 году. Один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль прожил короткую жизнь, но, несмотря на это, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Научные интересы Б.Паскаля не ограничивались созданием калькулятора: он нашёл алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, способ вычисления биномиальных коэффициентов, сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей.

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (В этой записи 6-остаток от деления 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Дальнейшее развитие теория чисел получила в работах Ферма, связанных с решением диофантовых уравнений и делимостью целых чисел.

Обобщением малой теоремы Ферма и доказательством теоремы для частных случаев занимался в начале XVIII века Эйлер. Он стал использовать для решения задач по теории чисел математический анализ, сформулировав тождество Эйлера, а также задачи, связанные со сложением простых чисел.

В XIX веке над теорией чисел работали многие видные учёные. Гауссом была создана теория сравнений, с помощью которой доказан ряд теорем о простых числах.

В начале XX века А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв и А. А. Марков продолжили работу над теорией квадратичных форм.

И. М. Виноградов внес большой вклад в развитие теории чисел, доказавший неравенство о числе квадратичных вычетов и невычетов на отрезке, определивший метод тригонометрических сумм.

В математике сегодня признаки делимости чисел классифицируют следующим образом:

  • делимость по последним цифрам числа;

  • делимость по сумме цифр числа;

  • делимость составных чисел.
















РАЗДЕЛ 2

Нахождение признаков делимости чисел на 11.

Составим таблицу двузначных и трехзначных чисел, которые делятся на11. Можно заметить некоторую зависимость в ее построении: в двузначных числах первого ряда цифры десятков и единиц одинаковые; в первой строке, начиная с третьего числа, сумма цифр равна 11.

11 110 209 308 407 506……

22 121 220 319 418 517……

33 132 231 330 429 528……

44 143 242 341 440 539……

55 154 253 352 451 550……

66 165 264 363 462 561……

…………………………………………..

Предполагаем, что остальные трехзначные числа, которые начинаются и заканчиваются одной и той же цифрой тоже делятся на 11. Выполняем деление:

101-нет, 111- нет, 121-да,131-нет, 141-нет,.. ;

202-нет, 212-нет, 222-нет, 232-нет, 242-да, 252-нет,.. ;

303-нет, 313-нет, 323-нет, 343-нет, 353-нет, 363-да,.. .

Предполагаем, что в следующем ряду делится на 11 число 484. Проверяем делением:484:11=44

Вспоминаем признаки делимости на 3 и 9, когда мы складывали цифры. Получаем, что в числе 121 1+1=2, в числе 242 2+2=4, в числе 363 3+3=6, в числе 484 4+4=8, сумма первой и третьей цифры равна второй цифре.

Замечаем, что это верно и для чисел 132,143,154,…,231,253,264, …,

341,352,451,462,..,561,…

Делаем первое заключение: если в трехзначном числе сумма первой и третьей цифры равна второй цифре, то число делится на 11.

Рассмотрим числа, выделенные в таблице жирным шрифтом:

11 110 209 308 407 506……

22 121 220 319 418 517……

33 132 231 330 429 528……

44 143 242 341 440 539……

55 154 253 352 451 550……

66 165 264 363 462 561……

…………………………………………..

Во втором ряду в числе 319 3+9-1=11, в числе 418 4+8-1=11, в числе 517 5+7-1=11,….. Это выполняется для чисел в остальных рядах.

Делаем второе заключение: если в трехзначном числе сумма первой и третьей цифры минус вторую цифру делится на 11, то и само число делится на 11.

Проверим данные гипотезы на четырехзначных числах. Число 3542:11=322, при этом 3+4=5+2; число 49687:11=4517 и 4+6+7=9+8; число 9581:11=871 и 9+8-(5+1)=11.

Проверим данные гипотезы на пятизначных числах. Число 42361: 11= 3851, при этом 4+3+1= 2+6; число 54758:11=4978, при этом 5+7+8- (4+5)=11.

Значит, правила выполняются для всех чисел.

Тогда, можно сделать общий вывод для целых чисел: если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Рассмотрим интересные примеры:

1) 345543 (3+5+4=4+5+3) по нашему правилу делится на11, проверим 345543:11=31413;

2) 961169 (9+1+6=6+1+9) по нашему правилу делится на11, проверим 961169:11=87379.

Делаем вывод: если к трёхзначному числу abc приписать его цифры в обратном порядке, то получится шестизначное число abccba, которое будет делиться на 11.

РАЗДЕЛ 3

Определение признаков делимости чисел, основанных на уже известных фактах


Используя полученные результаты в работе и известные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10, которые изучались в программе 5 класса, можно установить признаки делимости чисел на 22, 33, 55, 99, 110 и другие.

1.Установим признак делимости чисел на 22.

Если некоторое число делится на 11 и на 2, то оно будет делиться и на 22.

По определению деления: а:11=b, а=11b; а:2=с, а=2с = 11b = 2с, с= 11b/2 = b делится на 2. Следовательно, а:11:2. Значит, а делится на 22.

Например: 135388 делится на 11 (1+5+8=3+3+8) и 135388 делится на 2 (четное). Следовательно, 135388 делится на 22 (135388 : 22 = 6154)

2.Признак делимости на 33:

Если число делится на 11 и 3, то оно делится на 33.

Пример: 89496 делится на 11 (8+4+6=9+9) и 89496 делится на 3 (8+9+4+9+6=36 : 3), следовательно, 89496 делится на 33 ( 2712).

3. Признак делимости на 55:

Если число делится на 11 и 5, то оно делится на 55.

Пример: 795960 делится на 11 (7+5+6=9+9+0) и 795960 делится на 5 (оканчивается 0), следовательно, 795960 делится на 55 ( 14472).

3. Признак делимости на 99:

Если число делится на 11 и 9, то оно делится на 99.

Пример: 30591 делится на 11 (3+5+1=0+9) и 30591 делится на 9 (3+0+5+9+1=18), следовательно, 30591 делится на 99 (309).

Продолжая рассуждения, можно привести еще много примеров признаков делимости.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив литературу по исследуемой теме, выяснилось, что существуют и другие признаки делимости чисел на 11:

1. Если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 11, то и число делится на 11.

2.Число делится на 11, если у него разность между числом, составленным тремя последними цифрами, и числом, составленным остальными цифрами (или наоборот), делится на11.

Применив полученные знания, удалось установить признаки делимости на 22, 33,55, 99 и другие, так как этот процесс неограничен.

С точки зрения сложности раздел признаков делимости в школьной математике является простейшим. Но при выполнении заданий часто встречаются большие числа и нужно определить, делится ли число на данное число, тогда и работают знания признаков делимости.

Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания я смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

А еще изучение данной темы позволит разобраться в старинной восточной притче. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Давно жил старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Старшему сыну он завещал половину всех верблюдов, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Сыновья не смогли разделить завещание в «целых верблюдах». Они обратились к мудрецу.

- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и 5 частей. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19).Недоумевая, братья вернулись к мудрецу:

- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел.

Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:

серьезное изучение литературы по теме «Признаки делимости чисел»;

подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.
























ЛИТЕРАТУРА

  1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

  2. Воробьев КН., Признаки делимости, издательство «Наука», 1974.

  3. . Депман И. Я. История арифметики - Москва 1965 Издательство «Просвещение»

  4. Детская энциклопедия: Математика «Я познаю мир». – М.: АСТ, 1996.

  5. Кушнир И. Шедевры школьной математики. – Киев: «Астарта», 1995.

  6. Просветов Г. И. Теория чисел: задачи и решения: Учебно-практическое пособие М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2010.

  7. Шафаревич И.Р. Теория чисел. М., 1985.




















Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!