Набор задач по теме "Площади фигур"

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ: «Площади фигур»

1. Площадь прямоугольника равна 75. Найдите стороны этого прямоугольника, если одна из них в 3 раза больше другой.

2. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна5, а угол между диагоналями равен 60°.

3. Площадь параллелограмма равна 90. Найдите высоту параллелограмма, проведенную к стороне, равной 12.

4. Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 12.

5. Вычислите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АД=20, ВС=4, АВ=16 и угол А=30°.

6. Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 8 и 12, а боковая сторона равна 10.

7. Площадь прямоугольника равна 520 м², а отношение его сторон равно 2: 5. Найдите периметр данного прямоугольника.

8. Стороны параллелограмма равны 5 см и 11 см. Найдите его площадь, если один из углов равен 30°.

9. Найдите площадь ромба со стороной 24 см и углом 120°.

10. Найдите площадь параллелограмма, периметр которого равен 42 см, а высоты равны 8 см и 6 см.

11. Найдите периметр ромба, площадь которого равна 48 см² а острый угол равен 30°.

12. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 см и 18 см, а боковая сторона равна средней линии.

13. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

14. Стороны треугольника относятся как З : 25 : 26. Его площадь равна 144 см². Найдите периметр данного треугольника.

15. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см. Медианы боковых сторон перпендикулярны. Найдите площадь данного треугольника.

16. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна m, а гипотенуза равна с. Найдите площадь треугольника, не вычисляя его катетов.

17. В четырехугольнике АВСD диагонали перпендикулярны и равны 4 см и 11 см. Найдите его площадь.

18. Точка касания круга, вписанного в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные 4 см и 6 см. Найдите площадь этого круга.

Решение задач

1.Дано: прямоугольник ABCD, B C

AB BC в 3раза

S=75см²

Найти: все стороны A D

Решение:

Пусть AB=x, тогда BC=3x

S=3x* x=3x²

3x²=75

x²=25 x=5

Ответ: AB=5см, BC=15см B C

2. Дано: прямоугольник ABCD,

AB=5, BOA=60°

Найти: S_ABCD A D

Решение:

1)∆BOA-равносторонний, т.к. ВО=АО, как половины диагоналей прямоугольника,

BOA=60° , значит BOA=AOB=60°.

BO=AO=AB=5см

2)Рассмотрим ∆ABD, он прямоугольный,

BD=10, AB=5, по т.Пифагора:

BD²=AB²+AD², AD²=100-25=75, AD=

3) S_ABCD =AB*AD=5*=25

Ответ: S_ABCD=25

3.Дано: параллелограмм ABCD, B C

AD=12, S_ABCD=90cм²

Найти: высоту BH

Решение: A D

S=BH*AD H

90=BH*12 BH=7,5

Ответ: BH=7,5см

4.Дано: равносторонний ∆,

где одна из сторон равна 12

Найти: S

Решение:

Ответ:S=36 см²

5.Дано: трапеция ABCD, B C

AB=16, AD=20, BC=4, BAD=З0°

Найти: S_ABCD

Решение: A H D

BH=8(т.к.катет, лежащий против угла в З0°)

S_ABCD=12*8=96

Ответ: S_ABCD=96см²

6.Дано: равнобедренная трапеция ABCD(Cм.рис.к задаче№5)

AB=CD=10см, ВС=8см, AD=12см

Найти: S_ABCD

Решение:

1)По т.Пифагора в ∆ABH:

AB²=AH²+BH²

100=4+ BH²

BH²=96 BH

2)S_ABCD

Ответ: S_ABCDсм²

7.Дано: прямоугольник ABCD, S_ABCD=520м², AB:BC=2:5

Найти: P_ABCD

Решение: B C

1)Пусть x-одна часть, тогда AB=2x, BC=5x, P=2(AB+BC),

14x=P

2)2x*5x=S, 2x*5x=520 A D

10x²=520

x²=52 x

3)P=

Ответ: P=см

8.Дано: параллелограмм ABCD,

AB=5, BC=11, угол BAD=З0°

Ответ: S_ABCD

Решение:

S_ABCD=ab*=5*11*=55*=27,5

Ответ: S_ABCD=27,5см²

9.Дано: ромб ABCD, B

AB=AD=24, =120°

Найти: S_ABCD

Решение: A C

DAH=

1)Ромб-параллелограмм H

2)по т.Пифагора: D

AH²=AD²+DH²

AH²=576-144=432

AH

3)S_ABCDAH*DC

Ответ: S_ABCDсм²

10.Дано: параллелограмм ABCD,

Найти: S_ABCD

Решение: B C

AB+AD=21см, т.к. P=42см H

1)S_ABCD=BH₁*AD S_ABCD=BH*CD

S_ABCD=6*AD S_ABCD=8*CD A D

6 AD=8*CD H₁

2)Пусть AD=x, CD=21-x

6x=8(21-x)

6x=168-8x

14x=168 x=12

AD=12

3)S_ABCD=6*12=72

Ответ: S_ABCD=72см²

11.Дано: ромб ABCD,

_SABCD=48cм², ABC= B

Найти: P_ABCD H

Решение:

1)Ромб-параллелограмм A C

2)Sр=HC*AB=48

HC=x, AB=2x

x*2x=48 D

2x²=48

x²=24 x==

3)P=4x=

Ответ: P_ABCD=см

12.Дано: равнобедренная трапеция ABCD,

BC=8см, AD=18см,

FH-средняя линия, AB=CD=FH B C

Найти: S_ABCD F H

Решение:

1)AH₁=5, H₂D=5 A H₁ H₂ D

FH=(18+8):2=13

2)По т.Пифагора:

169=25+

=144

3)S_ABCD

Ответ: S_ABCD=156см²

13.Дано: прямоугольная трапеция ABCD,

большая боковая сторона равна сумме оснований,

CH=12см

Найти:S прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции

Решение:

1)BC=AH=x, HD=y, CD=2x+y B C

S=x(x+y)=x²+x

2)Из ∆CHD по т.Пифагора:

СD²=CH²+HD²

(2x+y)²=144+y² A H D

4x²+4xy+y²=144+ y²

x²+xy=36=S

Ответ: S=36см²

14.Дано: ∆ABC,

AB:BC:AC=З:25:26

_SABC=144см² B

Найти: P_ABC

Решение:

1)По формуле Герона: A C

p

S

2)36x²=144

x²=4 x=2

AB=6, BC=50, AC=52

3)P_ABC=108cм

Ответ: P_ABC=108cм

15.Дано: ∆ABC-равнобедренный, B

АС –основание, АС=5см,

медианы боковых сторон перпендикулярны C₁ A₁

Найти: S∆

Решение: A H C

1)Рассмотрим ∆AA₁C и ∆CC₁A.У них:

AC-общая, C₁A=A₁C(как половины раных сторон),

уголA=уголC(т.к.углы при основании равнобедренного ∆-ка)

=∆AA₁C=∆CC₁A(по углу и двум сторонам)

AA₁=CC₁,т.к.медианы в ∆-ке при пересечении делятся пополам

в отношении 2:1,считая от вершины,то CO=AO

∆COA-равнобедренный

2)Пусть CO=AO=x

25=x²+ x²

25=2x²

x²= x=

3)OH

OH

4)S∆

Ответ: S∆=18,75см²

16.Дано: прямоугольный ∆

сумма катетов равна m,

гипотенуза равна с

Найти: S∆, не вычисляя его катетов a c

Решение:

a + b=m

S= b

1)По т.Пифагора:

a²+b²=c²

(a+b)²=m²

a²+2ab+ b²=m²

2ab+c=m²

2ab=m²-c ab=

2) S∆=

Ответ: S∆=

17.Дано: четырехугольник ABCD,

AC, BD-диагонали, AC BD, AC=4см, BD=11см

Найти: S_ABCD

Решение:

S=S₁+S₂,где S₁=S_ABC, S₂=S_ADC B

S₁

_S2 A C

=

S= +=()==22 D

Ответ: S_ABCD=22см²

18.Дано: ∆ABC-прямоугольный,

точка касания круга, вписанного в ∆ABC, B

делит гипотенузу на части, равные 4 см и 6 см

Найти: S_круга O

Решение: M R

1)Отрезки касательных, проведенных из одной точки

к одной окружности равны. C N A

4=AO=AN, 6*OB=MB, MC=CN=x

AB=10, AC=4+x, BC=6+x

2)По т.Пифагора:

(4+x)²+(6+x)²=100

16+8x+x²+36+12x+x²=100

2x²+20x-48=0

x²+10x-24=0

x₁=-12(не удовлетв. усл.) x₂=2

R=2

3) S_круга=²=4

Ответ:S_круга= 4