Наглядная интерпретация вероятностных задач

Наглядная интерпретация решения вероятностных задач.

Теория вероятностей есть, в сущности,

не что иное как, здравый смысл,

сведенный к исчислению.

Лаплас.

Часто от учителей математик можно услышать, что вероятность и статистика сложны для школьников, и поэтому вообще не нужны в школе. Отчасти такое мнение складывается из-за трудностей, которыми сопровождается изучение теории вероятностей в вузах, традиционно дедуктивное.

Привить интерес к этой теме и научить решать такие задания возможно лишь тогда, когда школьники осмысленно задумываются над явлениями и вероятностными ситуациями, а не формально считают по формулам. Важно научить работать с базовыми понятиями без формул, опираясь на здравый смысл.

На своих уроках я внедряю практико-ориентированный подход, делая акцент на понимании вероятностных ситуаций и описании изменчивости, а не на количественных отношениях между вероятностями. Такой же подход в настоящее время характерен для составителей заданий по вероятности и статистике для ГИА и ЕГЭ.

Опустим задачи, где используется классическое определение вероятности, и рассмотрим задачи, в которых используются формулы вероятностей.

Итак, представляем вероятность событий А и В в виде квадрата со стороной 1×1. Если эти события одновременно наступить не могут, то выделяем области квадрата так, чтобы у них не было пересечений. Если же события совместные, то выделенные области будут иметь пересечение (рис.1).

Совместные события

Несовместные события

АиВ

В

ни А, ни В

А

Рис.1

В каждой задаче учащийся должен четко понимать, что обозначает любая область квадрата. Либо это только наступление события А, либо только наступление события В, наступление событий и А и В одновременно, не наступление ни одного из данных событий. По вопросу задачи определяем вероятность какой области надо найти и тогда вместо слов «какова вероятность», мы переходим в плоскость «площадей» и этот же вопрос уже звучит как «найдите площадь искомой фигуры». Знания, которые используются при решении задач- это нахождение дроби от числа и нахождение площади прямоугольника. Рассмотрим примеры:

Пример 1.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. (рис.2)

Решение:

События произойти одновременно не могут.

0,2+0,15=0,35

Ответ:0,35

рис.2

Пример 2.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.( рис.3)

Решение:

Вероятность того, что кофе закончится в пер-

Р(В)=0,3

0,12

вом автомате Р(А)=0,3, вероятность того, что

кофе закончится во втором автомате

0,3

Р(С) - ?

Р(А)

Р(В)=0,3.

Вероятность того, что кофе закончится хотя Рис.3 бы в одном автомате

Р(А+В)=0,3+0,3-0,12=0,48. Тогда событие С -кофе останется в обоих автоматах, значит Р(С)=1-0,48=0,52

Ответ: 0,52

Пример 3.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. (рис.4)

Решение:

Вероятность того, что перегорит первая лам-

па Р(А)=0,3. Вероятность, что перегорит вто-

рая лампа Р(В)=0,3. События А и В независи-

мы. Вероятность перегорания

рис.4

обеих ламп Р(D)=0,3∙0,3=0,09. Значит,

1-0,09=0,91.

Или 0,3·0,7+0,7·0,7+0,3·0,7=0,91

Ответ: 0,91

Пример 4.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.(рис.5)

Решение:

1хоз. 2 хоз. Вероятность того, что яйцо высшей категории

будет из первого хозяйства Р(А)= 0,4х.

Вероятность того, что яйцо высшей категории

будет из второго хозяйства Р(В)= 0,2(1-х).

Всего яиц высшей категории 0,35.

0,4х+0,2(1-х)=0,35, х=0,75

Ответ:0,75

рис.5

Пример 5.

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. (рис.6)

Решение:

дефект. без деф. В продажу поступило тарелок

90+0,2·10=92%

Не имеет дефектов 90% тарелок

Вероятность покупки тарелки без дефектов

Р(А)=90/92≈0,98

Рис.6 в продажу Ответ:0,98

Пример 6.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.(рис.7)

Решение: здоровы больны

Вероятность положительного результата

у здоровых Р(А)=0,95·0,01=0,0095

вероятность положительного результата

у больных Р(В)=0,9·0,05=0,045

0,0095+0,045=0,0545 рис.7

Ответ: 0,0545 положит. рез-т

Пример 7.

Известно, что ученики класса, имеющие двойки по алгебре, составляют 25%, а ученики, имеющие двойки по геометрии, составляют 15%. Какова вероятность, что ученик имеет двойки и по алгебре, и по геометрии, если ученики, не имеющие двоек ни по одному из предметов, составляют 70%?(рис.8)

Решение: Событие А- учащиеся, получившие двойки

только по алгебре. Событие В- учащиеся,

получившие двойки по геометрии. Событие

С- учащиеся, не получившие двойки.

Обозначим за х вероятность того, что уча-

Рис.8 щийся получит два и по алгебре и по гео- метрии. Составим уравнение 0,25+0,15+0,7-х=1 , х=0,1

Ответ: 0,1

Пример 8.

Среди учеников школы 15% знают французский язык и 20% знают немецкий язык. Доля учеников, знающих оба этих языка, составляет 5%. Какова доля учеников, знающих хотя бы один из этих двух языков?(рис.9)

Решение: Событие А- учащиеся, знающие французский язык.

Событие В- учащиеся, знающие немецкий язык.

Событие С- учащиеся, знающие оба языка.

0,2+0,15-0,05=0,3

Рис.9 Ответ: 0,3

Пример 9.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.(рис.10)

Решение: Р(А)-вероятность поступления на специаль-

ность «Лингвистика» 0,6·0,8·0,7=0,336

Р(В)-вероятность поступления на специаль-

ность «Коммерция» 0,6·0,8·0,5=0,24

Р(С)-вероятность поступления на две спе-

циальности сразу 0,6·0,8·0,7·0,5=0,168

Рис.10 0,336+0,24-0,168=0,408

Ответ: 0,408

Заключение

Подводя итог сказанному, отметим универсальность наглядного понимания вероятностных задач:

1. 80% вероятностных задач профильного уровня ЕГЭ можно решить с помощью этого метода.

2. У учащихся появляется возможность избежать ошибки, связанной с применением формул вероятностей.

3. Метод имеет очень отлаженный алгоритм решения: решение всех задач сводится к нахождению площади нужной фигуры.

Задачи для самостоятельного решения

1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. (Ответ: 0,015)

2. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. (Ответ: 0,17)

1. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не

пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 5 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу

хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. (Ответ:0,4)

1. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,82. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,87. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. (Ответ:0,0234 )

2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. (Ответ:0,9604 )

3. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. (Ответ:0,0588 )