Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции.

Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции f(x) на отрезке [a; b] достигаются в критических и стационарных точках, то есть в точках, в которых производная функции равна нулю f′(x)=0 или не существует, либо на концах отрезка [a; b].

Теорема. Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x₀. Тогда:

а) если x₀ − точка максимума, то y_наиб = f(x₀)

б) если x₀ − точка минимума, то y_наим = f(x₀)

Давайте геометрически проиллюстрируем эту теорему

Алгоритм

нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке[a; b]

1) Найти производную функции f '(x)

2) Найти критические (стационарные) точки f '(x) = 0

3) Отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [а;b ]

4) Найти значения функции в этих точках и на концах отрезка.

5) Выбрать наибольшее и наименьшее из них и записать ответ

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x³ – 1,5 x² – 6x + 1
на отрезке [– 2; 0].

1) f '(x) = 3x² – 3x – 6

2) 3x² – 3x – 6 = 0

x² – x – 2 = 0

D = 9

x₁ = 2

x₂ = – 1 [– 2; 0]

4) f(–1) = (–1)³ – 1,5∙ (–1)² – 6 ∙(–1) + 1 = 4,5

f(–2) = (–2)³ – 1,5∙ (–2)² – 6 ∙(–2) + 1= –1

f(0) = 0³ – 1,5 ∙ 0² – 6 ∙ 0 + 1= 1

5)

Решить самостоятельно:

1. Найти наименьшее значение функции f(x) = х² – 4х на промежутке [1;3]

2. Найти наибольшее значение функции f(x) = х³ + 6х² + 9х + 3 на промежутке [– 4; – 2]

3. Найти наименьшее значение функции f(x) = 1 + cos х на промежутке [ ; ]