Нахождение площади фигур. Формула Пика.

Формула Пика (теорема Пика)

S=В+ Г/2 − 1

Кто же такой Пик?

Пик Георг Александров

(1859-1942 гг.)

– австрийский математик.

Открыл формулу в 1899 году.

Формула Пика: S = B + Г/2– 1, где S – площадь многоугольника, с вершинами в узлах квадратной сетки; Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника (на сторонах и в вершинах), В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника.

Теорема Пика

Пусть В − число целочисленных точек внутри многоугольника, Г − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь.

S = В + Г/2 – 1

1см

Для многоугольника на рисунке В = 13 (красные точки),

Г = 6 (синие точки), поэтому

S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

Найти площадь данной фигуры

1см

В = 18 (красные точки),

Г = 10 (синие точки), поэтому

S = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.

Задания открытого банка задач

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

3

Решение:

7

1см

Ответ: 10,5.

Задания открытого банка задач

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

1см

3

h a

8

Ответ: 12.

Задания открытого банка задач

Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

6

по теореме Пифагора:

2

b

3

а

1

1см

Ответ: 20.

Задания открытого банка задач

Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

4

8

1см

Ответ: 16.

8

Задания открытого банка задач

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

2

7

1см

Ответ: 36.

Задания открытого банка задач

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

3

5

Решение:

2

9

7

Ответ: 25,5.

8

1см

Задания открытого банка задач

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1

7

Решение:

4

9

5

Ответ: 15,5.

8

1см

Задания открытого банка задач

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

8

Решение:

6

9

3

Ответ: 51.

2

6

1см

Задания открытого банка задач

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2

Решение:

5

9

Ответ: 31.

8

1см

4 √ 2

4 √ 2

Задания открытого банка задач

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (1 способ)

Площадь четырехугольника

(в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4 √ 2, а синус угла между ними равен 1.

Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.

4

4

4

4

1см

Ответ: 16.

14

Задания открытого банка задач

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (2 способ)

В = 15 (красные точки),

Г = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика

S = В + Г/2 – 1

S = 15 + 4/2 – 1 = 16

Ответ: 16.

1см

15

Задания открытого банка задач

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (1 способ)

6

3

4

5

5

9

5

4

Ответ: 19,5.

9

1см

16

Задания открытого банка задач

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: (2 способ)

В = 16 (красные точки),

Г = 9 (синие точки), тогда по теореме Пика

S = В + Г/2 – 1

S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5

Ответ: 19,5.

1см

17