Научная конференция "Ломоносовские чтения" по теме "Простые числа"

Каждое натуральное число, больше единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно на целое не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие- то целые делители, то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное.

Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. До н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Можно ли, вторя поэту, сказать, что простых чисел столько, “ сколько звезд на небе, сколько рыб в воде”? Ответ находим в девятой книге знаменитого сочинения Евклида” Начала”- нетленного памятника Древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: ”Первых (простых) чисел существует больше любого указанного числа их”.

Любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Одна из самых известных открытых математических проблем; в совокупности с  гипотезой Римана, до сих пор остающихся нерешёнными по состоянию на 2010-е годы.

«Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.»

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

«Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.»

Более слабый вариант гипотезы, согласно которой любое нечётное число. Из справедливости утверждения бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует справедливость тернарной проблемы Гольдбаха:

«Если каждое чётное число, начиная с 4, есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7.»

На сегодняшний день проверены все чётные числа до 3*10 18 , и проверка продолжается. Но у подобного метода есть существенный недостаток. Так нельзя доказать теорему, так как нельзя гарантировать, что число, которое программа могла бы проверить за следующий свой шаг, не окажется первым исключением из правила.

Долгое время не удавалось найти вообще никаких путей к исследованию проблемы Гольдбаха. Лишь в 1923-м году английским математикам Готфри Харди и Джону Литлвуду удалось доказать, что относительно так называемых L-pядов Дирихле, всякое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых чисел.

В 1930-м году математик Лев Шнирельман опубликовал доказательство теоремы о том, что целое число, большее единицы, есть сумма ограниченного числа простых чисел, причём это число не превышает 300000. Это было серьёзным шагом вперёд. Но ограниченное число не есть указанное в гипотезе число 2. Поэтому доказательство Шнирельмана стало лишь частным решением проблемы.

Наиболее серьёзный шаг вперёд в решении проблемы Гольдбаха сделал в 1937-м году советский математик Иван Виноградов . Он доказал, что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, то есть по существу решил проблему Гольдбаха для нечётных чисел. Правда, «достаточно большое число» в формулировке Виноградова составляет 3,33*10 43000 , что на сегодняшний день практически неприменимо в прикладной математике.

Заметный шаг к доказательству проблемы Гольдбаха сделал в 1966 году китайский математик Чэнь Цзинжунь. Он доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (т.е. имеющего только 2 делителя, не считая 1 и самого себя)

В 1997 году была доказана справедливость слабой проблемы Гольдбаха для ещё одного частного случая: чисел свыше 10 20 . В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом Гельфготтом.

Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

В интернете можно найти множество «доказательств» сильной гипотезы Гольдбаха. Но обыкновенно подобные доказательства имеют ошибки, либо вообще не являются доказательствами. Вполне вероятно, эта гипотеза попросту недоказуема, а наблюдаемая закономерность является сложной комбинацией математических совпадений.