Необычные способы вычислений

Необычные способы вычислений

Объект исследования:

• алгоритмы счета

Предмет исследования:

• процесс вычислений

Гипотеза:

• овладение приемами устного счета позволит повысить качество и скорость вычислений пятиклассников

Методы исследования:

• поисковый   метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический  метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
• анализ  полученных в ходе исследования данных.

Цель работы:

показать различные способы вычислений.

Задачи:

• изучить литературные источники и Интернет источники , в которых встречаются различные приемы быстрого счета;
• найти как можно больше различных необычных способов вычислений;

- научиться применять на практике самые интересные или более лёгкие способы вычислений;

- провести констатирующий эксперимент, т. е. пробный диктант в 5а классе;

- сделать вывод о подтверждении или опровержении выдвинутой гипотезы.

Актуальность

• данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Введение

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

В своей работе я сочла важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счета, можно поспорить и с компьютером.

Способы вычислений

• Умножение на пальцах
• Умножение удвоением
• Крестьянский способ умножения
• Умножение способом «маленький замок»
• Умножение на 11, 9, 50, 101
• Квадрат двузначных чисел, начинающихся с 5-ти; квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5
• Египетский способ умножения
• Умножение чисел методом «ревность»
• Новый способ умножения (таблица Оконешникова)

УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ  

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название  пальцевого счета ).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке. Пример: 8 ∙ 9 = 72

Умножение на 9.

Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки .

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип "вычисления".

• Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве "счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.

• 7 клеток 2 клетки

КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

• Русские крестьяне применяли следующий способ умножения: Пусть надо умножить 37 на 32. Составим два столбца чисел, - один удвоением, начиная с числа 37, другой раздвоением, начиная с числа 32:

• 37……….32
• 74……….16
• 148……….8
• 296……….4
• 592……….2
• 1184……….1

Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое, поэтому 

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

УМНОЖЕНИЕ НА 11

• 1 способ . Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673 

• 2 способ.  Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

  45 * 11 = 4(4+5)5 = 495

• Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел

УМНОЖЕНИЕ НА 9

• Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

  УМНОЖЕНИЕ ТРЁХЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА 101  

Например 125 * 101 .

• (увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя)

125 + 1 = 126    12625

КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, ОКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 5

• ПРАВИЛО : умножают число десятков на число, на единицу большее,
• и к произведению приписывают 25.

75 2 =(7*8) в конец произведения подписываем 25 : 5625

КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, НАЧИНАЮЩИХСЯ С 5-ТИ

Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся на 5, надо: 

• к 5 2 =25 прибавить число единиц « а ».
• к полученному числу приписать справа квадрат единиц.

56 2 =(25+6)*(6 2 )=3136

59 2 =(25+9)*(9 2 )=3481

Практическая часть

Изучив в литературных и Интернет источниках приёмы устного счёта, мы отобрали самые распространённые и общедоступные. По согласованию с учителем математики, составили математический диктант, опираясь на данные свойства. На уроке с разрешения учителя, провели диктант в своём классе. В эксперименте принимали участие 6 человек. Трое выполняли вычисления обычными способами, а трое других учащихся выполняли вычисления по правилам, с которыми мы их предварительно познакомила.

Образец диктанта:

1. 41*39

2. 26*34

3. 89²-11²

4. 45²

5. 28*11

6. 84*12

7. 79*11

8. 129*5

9. 64*18

10. 87*93

Результаты вычислений

Заключение

• Работая над этой темой, я узнала, что существует много различных, забавных и интересных способов вычислений. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел.
• Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным и показались способы умножения на 9, 11,101, 50, пальцевый счёт, возведение в квадрат двухзначных чисел, начинающихся и заканчивающихся на 5.
• Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).
• Заинтересовал новый способ умножения, потому что он позволяет в уме «ворочать» огромными числами.
• Используя  упрощенные приёмы устных вычислений я научилась  производить наиболее трудоёмкие  арифметические действия  без применения калькулятора и компьютера.
• Наша первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета, подтверждается.

Спасибо за внимание!