О дробных числах

О ДРОБНЫХ ЧИСЛАХ

Вы хорошо знаете, что числа, применяемые при счете, называются натуральными. Счет бесконечен, следовательно, натуральный ряд чисел тоже бесконечен. В современном мире общепринято обозначать эти числа символами (цифрами), которые придумали древние индусы, а «донесли» до людей, распространили эту запись арабы. Поэтому, они и называются арабскими цифрами. Это: 1, 2, 3, 4, …,11,… Такая форма записи натуральных чисел «прижилась» и оказалась наиболее удобной для людей.

N= 1, 2, 3, 4 ,…, п-1, п, п+1,…

N – множество натуральных чисел, пN. Самое маленькое натуральное число – 1, самого большого не существует.

Вы получили понятия о натуральных числах и действиях над ними. Умеете их складывать, вычитать, умножать и делить, знаете историю их появления в человеческом сообществе. Но натуральные числа со временем перестали удовлетворять людей. Они были «нерушимыми», целыми. Нужны были еще и другие числа, которые дополнили бы натуральные. Дело в том, что при практической деятельности человека только натуральными числами уже нельзя было обойтись.

Первым, самым ранним, расширением круга натуральных чисел оказалось присоединение к их множеству множества обыкновенных дробей и смешанных чисел. Дело в том, что при практической деятельности человека только натуральными числами уже нельзя было обойтись. Не всякую величину можно измерить целым числом.

Обыкновенная дробь показывает часть от целого.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель – сверху, а числитель – снизу, и не писали дробной черты.

А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Сорок веков назад египтяне уже умели ловко обращаться с обыкновенными дробями. Правда, они предпочитали простейшие дроби вида , а более сложные разлагали в

сумму простейших. Представление об этом дает задача, имеющаяся в папирусе, хранящемся ныне в музее изобразительных искусств им. А.С. Пушкина в г. Москве: «Разделите семь хлебов между восемью людьми». Ответ дан такой:

.

Приведем задачу из папируса Райнда, хранящегося в Британском Музее: найдите натуральное п, такое, что:

Эта задача в 1997 году предлагалась на Московской Олимпиаде для шестиклассников, и решили ее отнюдь не все участники.

Попробуйте и вы.

Тренировочные задания:

1. Мать оставила для трех своих сыновей тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым пришел из школы младший сын. Увидев на тарелке сливы, он съел третью часть и ушел гулять. Вторым пришел средний сын. Думая, что его братья не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке, и тоже ушел гулять. Позднее всех пришел старший сын и съел 4 сливы - третью часть слив, которые он увидел на тарелке. Сколько слив было вначале?

Решение: Задачи такого рода желательно решать от конца. Последним пришел старший сын и съел 4 сливы, т.е. третью часть : 4 : 1/3= 12 (сл.) – II остаток. Средний сын съел третью часть, а 2/3- составил I остаток : 12: 2/3=18 (сл).

Младший сын первым съел 1/3 слив, т.е. число слив вначале было : 18: 2/3= 27(сл).

Ответ: на тарелке было вначале 27 слив.

2. Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние по реке?

Решение: Пусть v км/ч- собственная скорость катера (по озеру), х км/ч- скорость течения реки, тогда за 6 ч по озеру катер проплывет расстояние, равное 6v км, и за 5 ч. по течению реки катер проплывет расстояние, равное 5(v+х) км. Отсюда v=5х, далее найдем время, которое потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние: t= =

Ответ: 30 часов.

3. .В трех школах района обучается 1200 учащихся. Сколько учащихся обучается в каждой школе, если известно, что 2/3 числа учащихся первой школы равны ½ числа учащихся второй школы и 2/5 числа учащихся третьей школы?

Решение:

Задачи такого рода легче решать, используя графическую модель:

I школа -------------------------

II школа --------------------------------

III школа -----------------------------------------

За х удобно принять 1/3 числа учащихся первой школы, тогда в первой школе обучается 3х учащихся, во второй школе- 4х учащихся, а в третьей школе- 5х учащихся. По условию задачи в трех школах обучается 1200 учащихся, т.е.

3х+4х+5х=1200,

12х=1200,

х=100

Ответ: 300,400,500.

4. Один насос может выкачать всю воду из котлована за 36 ч, а другой- в 2 раза быстрее. После того как они, работая вместе, выкачали 1/3 всей воды, второй насос сломался, и остальную воду выкачал один первый насос. За сколько времени была выкачана вся вода из этого котлована?

Решение: Один насос может выкачать всю воду из

котлована за 36 ч, а другой- за 18 ч, тогда

производительности двух насосов составляют 1/36 и 1/18.

Работая вместе, два насоса выкачали 1/3 всей воды за

время t= Ответ: за 4 часа

5. Четыре близнеца Аскар, Болат, Дулат и Гайни праздновали свой день рождения.

Им подарили коробку конфет, Договорившись разделить конфеты поровну, мальчишки ушли играть с гостями. Аскар зашел в комнату первым, взял свою долю и ушел. Через некоторое время зашел в комнату Болат, взял четвертую часть конфет и ушел. То же самое проделали Дулат и Гайни, после чего в коробке осталась 81 конфета. Сколько всего конфет было в коробке и сколько конфет взял каждый?

Решение: Так как осталась 81 конфета, то перед тем, как брал конфеты Гайни, в коробке было 81:3х4=108 конфет; пред тем, как брал Дулат: 108 : 3 х 4= 144 конфеты;

Перед тем как брал Болат: 144 : 3 х 4 = 192 конфеты. Вначале было 192 : 3 х 4 = 256 конфет. Каждому полагалось по 64 конфеты. Аскар взял свою долю- 64 конфеты, Болат взял- 48 конфет, Дулат взял-36 конфет, а Гайни- 27 конфет

Ответ: 256 конфет

6. Сколько воды надо добавить к 600 г жидкости, содержащей 40 % соли, чтобы получился 12 -% ый раствор этой соли ?

Решение: 600 х 40 : 100= 240 (г)- содержится соли в 600 г

жидкости;

240 : 12 х 100= 2000 (г)-будет 12%-й жидкости;

2000-600=1400 (г)- воды надо добавить

Ответ: 1400 г.

1. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день- 0,3 остатка и еще 20 страниц. В третий день- 0,75 остатка и последние 30 страниц книги. Сколько страниц в книге?

Решение: Пусть x- число страниц, которое было в книге.

В первый день прочитали (0,2х+16) страниц; осталось

прочитать во второй и третий дни (0,8х-16) страниц; во второй день прочитали (0,3(0,8х-16)+20)= (0,24х+15,2)страниц; в третий день осталось прочитать (0,56х-31,2) страниц. Так как в третий день прочитали 0,75 остатка и еще 30 книг, то остаток будет составлять 120 страниц. В итоге получаем уравнение: 0,56х – 31,2 = 120, откуда находим х = 270

Ответ: 270 страниц.

1. Трактористы вспахали поле за три дня. В первый день они вспахали 3/7 всего поля,

во второй день- 40 % поля, а в третий день – остальные 72 га. Найдите площадь поля?

Решение: Так как в первый день трактористы вспахали 3/7 поля, во второй день- 0,4 поля или 2/5 поля, тогда в третий день они вспахали 1- (3/7+2/5)= 6/35 поля, что составляет 72 га. Следовательно, площадь поля равна 72: 6/35= 420 (га).

Ответ: 420 га.

1. Когда велосипедист прошел 2/3 пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду, Во сколько раз

велосипедист ехал быстрее, чем шел?

Решение: Велосипедист прошел пешком 1/3 пути, то есть в 2 раза меньше, чем проехал на велосипеде. Времени же затратил вдвое больше. Поэтому он ехал в 4

раза быстрее, чем шел.

Ответ: в 4 раза

1. Некоторый товар стоил 500 рублей. Затем цену на него увеличили на 10% , а затем уменьшили на 10 %. Какой стала товар ?

Решение: 550-55=495 (руб)

Ответ: 495 руб.

Задание на дом

1. Докажите основное свойство дроби.

2. Вычислите:

1. Я отпил 1/6 чашечки черного кофе и долил ее молоком. Затем я выпил еще 1/3 чашечки и снова долил ее молоком. Наконец я выпил полную чашку. Чего я выпил полную чашку. Чего выпил больше: кофе или молока?

2. Сакен взял у товарища книгу на 3 дня. В первый день он прочитал половину книги; во второй – треть оставшихся страниц; а количество страниц, прочитанных в третий день, было равно половине числа страниц, прочитанных в первые два дня. Успел ли Сакен прочитать книгу?

3. На 22 карточках написаны натуральные числа 1,2,...,22. Из этих карточек составили 11 дробей. Могут ли 10 из этих дробей иметь целые значения?

4. Когда пассажир проехал половину пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, что он проехал, смотря в окно. Какую часть всего пути пассажир смотрел в окно?

5. Малыш может съесть торт за 10 минут, банку варенья- за 8

минут, а кастрюлю простокваши – за 15 минут. Карлсон

может сделать это за 2, 3 и 4 минуты соответственно.

За какое время они вместе могут покончить с завтраком,

состоящим из торта, банки варенья и кастрюли

простокваши?

8 . В классе число отсутствующих учеников составляло 1/6 часть числа присутствующих. Когда из класса вышел один ученик, то число отсутствующих стало равно 1/5 числа присутствующих. Сколько учеников в классе?

9. 48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут? (Лошадь не может стоять на двух ногах.)

10. В бак вмешается 60 литров воды. К нему проведены две трубы. Через первую трубу за 10 минут можно наполнить пустой бак. Через вторую трубу за 15 минут можно опорожнить полный бак. Сколько вода окатятся в баке через 5 минут, если открыть обе трубы?