О математических софизмах

Наверняка каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел???

Именно эти вопросы мы хотим рассмотреть в своей работе «Математические софизмы». Неслучайно мы выбрали именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как намкажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

Основная гипотеза проекта

Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Показать значимость математических софизмов при изучении математики, их роль в формировании полноценной личности, способной адаптироваться в условиях современного общества.

Задачи

• Изучить источники: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете;

• Классифицировать и отобрать материал;

• Провести анализ и классификацию ошибок в работах учащихся седьмых классов по математике.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. Мы рассмотрим три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

Алгебраические софизмы

3. «Дважды два равно пяти»

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d.

Имеем: a+b=2d,

a=2d-b,

2d-a=b.

перемножим два последних равенства по частям.

Получим: 2da-a*a=2db-b*b.

Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d.

Будем иметь: a²-2da+d²=b² -2bd+d²,

или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d),

откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

Где ошибка???

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»

решим систему двух уравнений:

подстановкой у из 2го уравнения в 1 получаем

х+8-х=6,

откуда 8=6

где ошибка???

Уравнение второе можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.

Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Геометрические софизмы

1. Софизм об исчезающем квадрате.

Большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников и маленького квадрата (рис. 1).

Рис.2

Рис.1

Если четырёхугольники развернуть (рис. 2), то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится.

В чём же тут ошибка?

Посмотрим внимательно на ход действий.

Одинаковая ли площадь у обоих квадратов? Нет, так как сторона и площадь нового квадрата меньше стороны и площади того, который был вначале. При решении данного софизма я воспользовался разрезанием этого квадрата, сложив части, и сравнив с исходным квадратом, получил, что он действительно становится меньше.

«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.

Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д.

Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В.

Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой.

Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС.

Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка???

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж.

В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD.

Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

Арифметические софизмы

2.«Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

Если a=b, c=d, то ac=bd.

Применим это положение к двум очевидным равенствам

1 р.=100 коп, (1)

10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

10 р.=100000 коп. (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство

10 р. =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает

1 р. = 10 000 коп., (*)

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.

«Спичка вдвое длиннее телеграфного столба

Пусть а дм- длина спички и b дм - длина столба.

Разность между b и a обозначим через c .

Имеем b - a = c,

b = a + c.

Перемножаем два эти равенства по частям, находим:

b² - ab = ca + c².

Вычтем из обеих частей bc.

Получим:

b²- ab - bc = ca + c² - bc,

или b(b - a - c) = - c(b - a - c),

откуда b = - c, но c = b - a,

поэтому b = a - b, или a = 2b.    

Где ошибка???

В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Как я уже отмечала ранее, неточное знание формулировок, правил и условий, при которых эти правила выполняются, приводят учащихся к неправильным, а иногда и абсурдным результатам.

Попробуем рассмотреть некоторые ошибки из контрольных работ обучающихся по алгебре за прошлый год.

7 класс

Выражения, тождества, уравнения

1.Ученики знают распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.

Правило: а(b + с) = ab + ас а(b - с) = аb - ас.

Ошибки: - 2(а + 4) = -2а + 8; - 2(а - 4) = -2а - 8.

«Минус» и «плюс» в формулах сыграли плохую роль после того, как ученики познакомились с отрицательными числами. Надо быть внимательными.

2. Правила раскрытия скобок все знают, а при применении забывают и выполняют его только для первого слагаемого.

Правило: + (а -b + с) = а-Ь + с; -(а-b- с) = -а + Ь- с.

Ошибки: - (5a + b- х) =-5а+ b- х.

3.Правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

Правило: при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные. 5х - 7 = 2x + 9;

Ошибки: 5х + 2x = 9 - 7.

4.Решение линейного уравнения.

Привычка из начальной школы большее число делить на меньшее «заставляет» при решении уравнений учащихся совершать ошибку, а надо всего то знать правило нахождения неизвестного множителя или правило деления обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля число.

ах = b;

П равило: (а = 0)

х =

Ошибки: 6х =2

х = 3.

Степень с натуральным показателем

Правила: Ошибки:

=

Многочлены

Правило: при раскрытии скобок с применением распределительного свойства умножения нужно каждое слагаемое умножить на число.

2х - 5(х + 2) = 2х - 5х - 10;

Ошибки: 2х - 5(х + 2) = 2х - 5х +10.

Формулы сокращенного умножения

(a+b)²=a²+2ab+b²

Правила: (a-b)²=a²-2ab+b²

a²-b²=(a+b)(a-b)

Ошибки: (х + 5)² = х² +25;

(а - 3 = (а - з)(а + 3);

(а + 3)(3 - а) = a² -9.