О простых и составных числах.

7 класс.

О простых и составных числах.

Всякое число делится на и на само себя. Если натуральное число не равно и не имеет других натуральных делителей, кроме и , то такое число называется простым.

Вот первые несколько простых чисел: . Число — единственное чётное простое число.

Взаимно простыми числами называются те, у которых равен . Значит, для выяснения будут ли являться числа взаимно простыми, необходимо найти их НОД.

Например, числа и – взаимно простые, так как и .

Число, не равное и не являющееся простым, называется составным.

Например, — составное число (так как, кроме и , оно делится ещё и на ). Число — тоже составное (оно чётное).

Единица не является ни простым числом, ни составным.

Упражнение. Число является составным. Почему?

Оказывается, всякое число можно разложить на простые множители. Например:

.

Такое разложение единственно с точностью до порядка множителей и называется каноническим разложением.

Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число, отличное от 1, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Два разложения натурального числа на простые множители могут отличаться друг от друга лишь порядком множителей.

Из этой теоремы следуют следующие утверждения:

1. Если простое число делится на простое число , то эти числа равны .

2. Если – простое число, то любое натуральное число либо делится на , либо взаимно простое с .

3. Произведение натуральных чисел и делится на простое число в том и только в том случае, когда хотя бы одно из них делится на .

4. Любое натуральное число, отличное от 1, является либо простым, либо произведением простых чисел.

5. Если натуральное число делится на простое число , то в любом разложении этого числа на простые множители хотя бы один из множителей равен .

6. Любые два разложения составного числа на простые множители отличаются друг от друга лишь порядком множителей.

Каноническое разложение даёт полную картину делителей данного числа (и, в частности, позволяет найти их количество). Именно, пусть — каноническое разложение числа . Тогда каноническое разложение любого делителя числа состоит из простых множителей, входящих в набор показатели степени которых не превосходят соответственно чисел . Например, любой делитель числа имеет вид , где

Отвечаем на вопрос упражнения: является составным числом, т.к. при умножении нескольких раз числа мы получим число, в конце которого стоит цифра или . При вычитании из каждой из них единицы, всегда получаем чётное число, а, значит, всё число делится на , т.е. является составным.

Упражнение. Пусть p - простое число. Сколько делителей у числа: а) ; б) ;

в) ?

Решение. а) Число имеет делители: . Значит, оно имеет три делителя (учитывая, что – простое число).

б) Число имеет четыре делителя: .

в) Число имеет делители: , т.е. делитель.

Упражнение. Пусть p и q — простые числа. Сколько делителей у числа: а) ; б); в) ?

Решение. а) Пусть . Тогда делителями числа являются числа . То есть четыре делителя.

б) Пусть . Делителями числа являются числа , т.е. 12 делителей.

в) Пусть . Обобщим пункты а) и б). Сравнивая показатели степеней у множителей, входящих в разложение, и количество делителей, можем найти закономерность. В пункте а) количество делителей . В пункте б) количество делителей . Значит, в пункте в) находим количество делителей: .

Обобщая все рассуждения, приходим к выводу, что количество делителей числа равно

Простые числа имеют загадочные свойства.

1. До сих пор неизвестен механизм расположения простых чисел в ряду натуральных чисел.

2. Среди всех простых чисел только одно число чётное – это число 2.

3. Существуют простые числа-близнецы, т.е. те, которые отличаются друг от друга на 2. Это числа: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; и т.д. Причём, чем дальше числа уходят в бесконечность, тем реже такие пары простых чисел встречаются.

4. На данный момент известна самая большая пара простых чисел, каждое из которых состоит из 100 355 десятичных цифр.

5. Российский математик Л. Эйлер предположил, что любое чётное число натурального ряда (большее 2), является суммой двух простых чисел. Например, ; … Проверьте самостоятельно любое чётное число.

1. Найдите, сколько делителей имеет число 504.

2. Найдите канонические разложения чисел 540 и 252. С помощью полученных разложений, найдите НОД (540, 252) — наибольший общий делитель этих чисел.

3. Известно, что числа – простые числа. Найдите .

4. Известно, что числа – простые числа. Найдите .

5. Даны числа . Найдите количество делителей каждого из чисел и .

6. Даны числа . Найдите количество делителей каждого из чисел и .

7. Докажите, что каждое простое число представимо в виде или .

8. Докажите, что каждое простое число представимо в виде или .

9. Докажите, что если сумма и произведение двух чисел делится на простое число , то каждое из этих чисел делится на число .

10. Запишите разложение числа 1000 на простые множители. Сколько делителей имеет это число?

11. Сколько раз входит число 2 в разложение на простые множители произведения всех натуральных чисел от 1 до 10?

12. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 10?

13. Найдите числа и , если:

2. .

1. Найдите , если . Делится ли на ?

2. Найдите каноническое разложение числа на простые множители.

3. Какие из чисел

являются простыми, а какие – составными?

1. Проверьте, каждое ли чётное число от 2 до 100 является суммой двух простых чисел, или простого числа и 1.

2. Проверьте, каждое ли чётное число от 2 до 200 являются разностями двух простых чисел.

2