О воспитании логической культуры при обучении алгебре

О воспитании логической культуры

при обучении алгебре

Важным компонентом культуры мышления является логическая грамотность, которая воспитывается в основном на уроках математики, т.к. логические формы и отношения выступают здесь в чистом виде.

Значит, ответственность именно учителя математики в ознакомлении учащихся с началом логики особенно велика.

Но также, как знание грамматики не всегда надежно предохраняет от ошибок в письменной и устной речи, знакомство с логическими понятиями, так же отдельное их изучение, еще не обеспечивает логической грамотности.

Необходимым условием успеха в этом деле является систематическое и разнообразное использование логических понятий и целенаправленное привлечение к ним внимания учеников при изучении всего курса математики.

Тема эта очень обширна, поэтому остановимся только на употреблении логических связок «и» и «или». Ошибки, связанные с этим вопросом, часто встречаются и в работе выпускников.

Так решая неравенство ǀ x ǀ 3, некоторые пишут:

ǀ x ǀ 3

x 3 и x

Ответ: (- ∞ ; -3) U (3; +∞)

Здесь неуместна связка «и», должно быть «или».

Да, определения конъюнкции и дизъюнкции явно в школьном курсе не фигурируют и вводить их специально в обычном классе едва ли целесообразно, но постепенно выявлять их смысл в связи с изучением программного материала необходимо.

Например, представление о конъюнкции в 7 классе естественно увязать с изучением темы: «Системы уравнений с двумя переменными».

И пусть мы не скажем прямо, что систему уравнений можно рассматривать как предложение составленное, из данных уравнений с помощью конъюнкции (связка «и») но определение решения как пары значений переменных, обращающих в истинное равенство каждое уравнение системы, предполагает именно такое толкование. Поэтому можно сообщить учащимся, что знак системы заменяет связку «и». Графический же способ решения системы проиллюстрирует наглядно связь между логической операцией конъюнкция и операцией пересечения множеств, хотя с пересечением учащиеся познакомятся только в 8 классе.

В 8 классе большие возможности для выяснения смысла связок «и» и «или» дает изучение темы «Неравенства с одной переменной. Числовые промежутка».

Здесь уместно обратить внимание на то, что двойное неравенство – это не то что иное, как сложное предложение, составленное из двух с помощью союза «и», а нестрогое неравенство можно представить как предложение, составленное из двух неравенств с помощью союза «или».

Например: 5 x

и множество его решений получается как пересечения множеств решений их неравенств.

x ≤11 означает x x = 11 и множество его решений есть объединение множеств решений неравенства x x = 11

После выяснения этих вопросов можно предложить такое упражнение:

дано неравенство: -8 x

1). запишите множество его решений;

2). запишите данное неравенство в виде сложного предложения с союзами «и»

3). изобразите на координатной прямой множество решений неравенств, составляющих это предложение, найдите их пересечение;

4). выразите множество решений данного неравенства через множества решений, составляющих его неравенств.

Аналогично можно поработать с неравенством x

Подобные упражнения развивают представление о соответствии связок «и» и «или» с пересечением и объединением.

Потом это закрепляется при выполнении более сложных неравенств с переменной под знаком модуля, где используя графическую иллюстрацию, представляем

ǀ x ǀ -a

ǀ x ǀ a

Представление о дизъюнкции развивается в связи с изучением вопроса о разложении на множители при решении уравнений. Здесь надо еще раз подчеркнуть неразделительный смысл связки «или», т.е. в смысле «хотя бы одно из них».

Например,

х ( x -1) = 0

x = 0

x - 1 = 0 x =1

Можно и нужно предлагать различные упражнения на применение связок «и» и «или», включая их в устный опрос и упражнения для повторения типа:

Вставьте нужное слово («и» либо «или»)

модуль числа 6 кл.

4). ав = 0

5). ав ≠ 0 ( а ≠ 0 … в ≠ 0)

6). а/в = 0 (а = 0 … в ≠ 0) уже в 5 кл.

7). + = 0( а = 0 …в = 0)

8). а/в 0 ( а 0… в 0) …( а … в )

0

6 кл.- после изучения положительных

и отрицательных чисел

Если ввести кроме фигурной скобки- системы, квадратную - совокупность, то задание можно сформулировать так: «перейти к системе или совокупности», дав только левую часть.

Изобразите на координатной плоскости 8 кл. – после изучения

множества точек, координаты которых пересечения и

удовлетворяют предложениям: объединения

1).x 0 и y 0 2). x 0 и y

3).x y = 0 4).x = 0 и y=0

5). x 0 или y 0 6).x 0 или y

7).x y = 0 8).x =0 или y = 0

Такие упражнения подведут учащихся к формулировкам, подводящим итог накопленным ими представлениям о соответствии связок «и» и «или» (конъюнкции и дизъюнкции) пересечению и объединению. Таким образом, уже в 8 классе они будут владеть достаточно общими и полными знаниями об операциях «и» и «или», которыми смогут пользоваться на протяжении всего курса.

Например, в 8 классе, изучая «Решение дробных рациональных уравнений», учащиеся будут сознательно переходить к системе из уравнения и предложения вида f(x)≠0, понимая, что такая система является сложным предложением, составленным из двух предложений с помощью союза «и» и зная при каких условиях такое предложение истинно.

Станет естественным переход от системы к совокупности систем и другие преобразования.

Например,

1).)

и т.д.

2).≥ 0 и т.д.

3).(+3x +2) x = 0 х = 1

x =0 x 0

x =1

- 5x + 6 1 x 2

4). ( x-1 ) 1 - 5 х + 6 0 x 3

0 x – 1 x

– 5 х + 6 x

2 x

x 3

5). Найдите все пары чисел (x,y), являющиеся решениями уравнения:

2+ 2xy+ - 2x + 1 = 0

Решение:

2 + 2xy + -2 x +1 = 0 + 2xy + ) - 2x +1) = 0

+ = 0

Умение правильно определять понятие имеет огромное значение для логического вывода и звена в цепочке рассуждений.

На уроках математики учащиеся знакомятся с определениями многих математических понятий и учатся их применять, решая ,например, такую задачу: зная определение, установи, принадлежит или нет данный объект объему этого понятия. Чтобы успешно справиться с этой задачей надо хорошо владеть алгоритмом распознания.

Определение может быть простым, т. е. содержать только одно свойство, либо сложным, т.е. состоящим из нескольких свойств.

Свойства в сложном определении могут быть связаны либо конъюнктивно, либо дизъюнктивно, либо иметь смешанную структуру.

Например:

№1. Арифметическим корнем n-й степени из отрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

В этом определении конъюнкция свойств «a- неотрицательное число» и «n-я степень равна а»

№2. Функцию, возрастающую на данном множестве или убывающую на нем, называют монотонной функцией на этом множестве.

Структура этого определения дизъюнктивная.

Если определение представляет собой конъюнкцию свойств, то распознавание производится по следующему правилу: проверяй поочередно наличие у объекта каждого из этих свойств; если окажется, что объект обладает каким-либо свойством, прекрати проверку и сделай вывод: объект не принадлежит данному понятию; если окажется, что все свойства присущи данному объекту, то он принадлежит этому понятию.

При дизъюнктивной структуре определения проверка производится до тех пор, пока не будет установлено, что, хотя бы одно из свойств присуще данному объекту. Отсюда следует, что объект принадлежит объему данного понятия. Только в том случае, если объект не обладает ни одним из свойств, входящих в определение, можно заключить о его принадлежности к объекту данного понятия.

Например,

1. 6 является арифметически квадратным корнем из 36, т.к.6 ≥ 0 и = 36

2. -2 не является арифметическим квадратным корнем из 4, т.к. -2

3. функция у =1/ (x- 2) не является четной, т.к. её область определения (-∞ ; 2) U (2 ; + ∞) не является симметричной относительно нуля. Здесь не надо еще находить y (-x) что ошибочно делают учащиеся.

Иногда определения даются в такой формулировке, что структура его непосредственно не усматривается.

Например,

определение: «Если хотя бы один из коэффициентов в или с квадратного уравнения равен 0, то такое квадратное уравнение называется неполным».

Дизъюнктивная структура его становится очевидной, если его переформулировать в такой форме: «Квадратное уравнение называется неполным если в = 0 или с = 0».

В таких случаях важный момент работы над определением – это выявление его структуры.

Учащиеся должны понимать, что в определении нельзя ничего «ни убавить, ни прибавить». Это вовсе не означает что нельзя формулировать «своими словами». Делать это можно, не искажая смысла определения.

Содержание этого выступления не исчерпывает темы, обозначенной в названии, оно затрагивает лишь некоторые его аспекты.

Программа элективного курса по математике для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса

«Логические задачи»

Пояснительная записка

На данном этапе развития общества важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности по решению

«логических задач» в совокупность приемов человеческого мышления включаются анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и конкретизация и т.п. Вообще решение задач – основная учебная деятельность на уроках математики, в этом развиваются как прикладная так и творческая стороны мышления. К тому же, изучение нестандартных задач включает в себя мотивационный процесс учения, повышает интерес, как к задачам обозначенного типа, так и к математике в целом, то есть создаются предпосылки для расширения круга учеников, для которых математика становится личностно значимым предметом.

Предоставляемый элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов (1-е полугодие, 18 часов) ориентирован на развитие учащихся способов умственной деятельности средствами специальных задач, содержание которых отражает и житейские, и сказочные, и математические ситуации.

Включение личностно-ориентированного элективного курса «Логические задачи» в систему предпрофильной подготовки дополняет базовую программу,не нарушая её целостности, и будет способствовать развитию вероятностного мышления

Предлагаемые материалы содержат программу и методические рекомендации с дидактическим обеспечением по организации и проведению элективного курса, причем дидактическое обеспечение включает в себя разработку каждого занятия и пакет логических задач с ответами и указаниями к их решению.

Настоящий элективный курс по обучению решению логических задач призван реализовать следующие цели

образовательно-содержательная цель : обучить учащихся решению 5 блоков логических задач;

развивающая цель: через решение логических задач развивать умение анализировать, синтезировать, обобщать;

воспитательная цель: посредством организации занятий воспитывать усидчивость, настойчивость к достижению цели, интерес к математике.

Занятия элективного курса проводить по классно-урочной системе. Для

того, чтобы реализовать цели курса целесообразно использовать проблемное изложение, частично-поисковый и исследовательский методы обучения.

Немаловажным аспектом эффективности учебно-воспитательного процесса является подбор разнообразных форм учебной деятельности, так, например

Занятие может проходить в форме урока-практикума, урока-консультации, урока «обобщающей задачи», урока с использованием компьютерной техники. Занятия курса рекомендуется завершить выполнением учащимися контрольной работы.

Учебно-математический план курса(18ч)

Основное содержание курса

Тема 1. Задачи, решаемые с конца

Понятие «логическая задача». История возникновения логических задач.

Значение логических задач в развитии мышления и приемы мыслительной деятельности, способствующие развитию умения решать логические задачи.

Задачи, решаемые с помощью преобразования требования к условию задачи и алгоритмы их решения.

Тема 2.Задачи, решаемые с помощью таблиц истинности

Сущность приемов сопоставления и обобщения. Таблицы истинности. Задачи, решаемые с помощью таблиц истинности и алгоритмы их решений.

Тема 3. Задачи, решаемые на основе осознания исходных данных

Три типа задач, решаемых указанным способом. Задачи о правдолюбцах и алгоритм их решения. Задачи на взвешивание монет и мешков, алгоритм их решения. Задачи на переливание, алгоритм их решения.

Тема 4. Задачи на числа

Шесть типов задач на числа. Математические ребусы и обобщённый алгоритм их решения. Задачи на части и обобщённый приём их решения.

Задачи на дроби, на свойства 0 и 1.

Задачи с 1 и -1. Задачи на упорядочивание. Обобщенный алгоритм решения задач на числа.

Тема 5 Задачи на раскраску

Четыре типа задач на раскраску. Задачи, в которых дана раскраска и использование метода частичного поиска для их решения. Задачи, в которых

Требуется найти раскраску и общий приём их решения. Задачи на установление способа раскраски и приёмы их решения. Задачи, в которых раскраска - метод решения. Общая схема решения задач на раскраску.

Содержание учебного материала элективного курса представлено в виде блок-схемы в приложении 1.

Планируемые результаты обучения

В результате элективного курса учащиеся должны:

понимать сущность понятия «логическая задача»

уметь определять тип логической задачи

знать алгоритмы решения алгоритмических логических задач и уметь применять их на практике;

знать алгоритм творческой деятельности по поиску решения неалгоритмических логических задач и уметь

применять его на практике.

Тема: «Логика»

Цель урока: познакомить учащихся с понятием «логика» и её составляющими: комбинаторика, классификация,

сравнение, анализ, синтез;

развитие математического мышления и логической речи учащихся, воображения ,умения делать выводы, высказывать свои чувства и мысли, расширять кругозор учащихся, умение видеть знакомое в незнакомом, формировании научного мировоззрения;

воспитание интереса к предмету, уважительного отношения к одноклассникам, прилежания, активности, внимания.

Оформление

доски: Если мозг не засевать зерном, то он зарастет чертополохом.

Дж. Герберт, поэт XVII в.

ЛОГИКА

Комбинаторика Классификация Сравнение Анализ Синтез

Творческое мышление.

Ход урока

Одним из главных понятий математики является логика, которая включает в себя комбинаторику, классификацию, сравнение, анализ и синтез. Наша задача познакомиться с каждым из этих понятий и рассмотреть примеры использования их в жизни.

I.Комбинаторика –это перевод возможных вариантов.

Задание1. (двое учащихся работают у доски)

Составьте способом перебора возможных вариантов все возможные двузначные числа из цифр : а). 5,6,7 ;б).7,8,9

Рассмотрим использование перебора вариантов в жизненной ситуации.

Задание 2. ( один учащийся работает у доски)

На выходные вы собираетесь с родителями в гости к родственникам,

живущим в городах О, Г и Н. Перечислите все возможные варианты последовательности посещения родственников. Какие из этих вариантов наиболее удобны.

Задание 3. (работают в тетрадях)

Составьте анаграммы слов: СЕЛ,КОТ,ВЕС

Анаграммы- это слова, получаемые перестановкой букв в данном слове.

Расшифруйте записи ( заранее написать на доске)РТИ (тир, три) ,ОСЛЮП(полюс),ГРУК(круг), СОЛИЧ (число),МУСАМ(сумма).

II.Классификация – это распределение предметов по группам путем выделения в данных группах тех или иных признаков.

Задание 4.(устная работа)

Определите, по какому признаку следующие объекты разделены на классы.

Дайте название для каждого класса.

кот цветок ель апельсин

собака дерево сосна яблоко

тигр (животные) трава(растения) береза(деревья) мандарин(фрукты)

Выделите в каждом столбце лишний объект. Объясните, почему вы так сделали. Например, апельсин и мандарин –слова мужского рода, а яблоко среднего ; кот и собака домашние животные ,а тигр – дикое.

Задание 5.

Определите, по какому принципу составлен каждый из следующих рядов чисел. Продолжите эти ряды.

2,4,6,8…

1,5,9,13…

5,10,15,20…

1,2,3,мяу,5,6,7, мяу…

III Сравнение – это мысленное установление сходства и различия.

Подумайте и скажите, где и когда в жизни вам приходится сравнивать. Какие прилагательные при этом используются.

Сравнение в математике.

Задание 6 (по одному ученику от варианта работают у доски).

Сравните числа (по вариантам).

В-1. а) 5,75 и 57,5 б). 34,06 и 34,007 в). 534,0 и 54,987

В-2. а

Задание 7.

Сравните две несравнимые, казалось бы, на первый взгляд, вещи.

Найдите сходства и различия слов: КОЛОША и КОРАБЛЬ.

IV. Анализ – это расчленение целого на части, переход от общего к частному.

Рассуждаем вместе.

Задание 8.

Запишите шаги (этапы),которые необходимо осуществить для того, чтобы купить компьютер (этапы записываем в тетрадь).

Общее: купить компьютер.

- что для этого надо? (деньги)

- как получить деньги? (заработать, украсть, накопить, получить наследство)

- что из перечисленного наиболее реально? ( заработать деньги)

- что надо сделать, чтобы заработать достаточно денег? (работать на хорошей работе)

- как найти хорошую работу?...

Задавая ученикам ряд подобных вопросов, вы приходи те к частному: надо хорошо учиться.

V.Синтез – мысленное объединение частей в целое, т.е. переход от частного к общему.

Здание 9 ( два варианта)

В-1. Вы выиграли миллион долларов. Найдите в этом пять отрицательных моментов.

В-2. У вас случился пожар. Найдите в этом пять положительных моментов.

Подведение итогов урока.

Творческое мышление

Подвести итог урока.

Задание на дом .

Человек, который может анализировать, сравнивать, синтезировать, классифицировать и составлять различные комбинации, обладает творческим мышлением. Дела многих фирм во многом зависят от рекламы, вернее от людей, которые разрабатывают рекламу продукции, а если точнее, то от того насколько развито их творческое мышление. Домашнее задание позволит проверить как развито ваше творческое мышление.

В-1. Придумайте рекламу дневника с двойками.

В-2 .Придумайте рекламу ручки в которой закончилась паста.

В-3.Придумайте рекламу к сломанному карандашу.

В-4. Придумайте рекламу к скомканному листу бумаги.